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数学B 数学的帰納法問題 42 解説

方針・初手

整数の平方を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。この性質から、$x^2+y^2$ が $3$ で割り切れるなら、$x,y$ はともに $3$ で割り切れることが分かる。

あとは、$x=3X,\ y=3Y$ とおいて指数を下げる操作を繰り返せばよい。

解法1

まず、整数 $a$ について、$a$ を $3$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。

それぞれ平方すると、

$$ 0^2\equiv 0,\quad 1^2\equiv 1,\quad 2^2\equiv 1 \pmod{3} $$

であるから、整数の平方を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

したがって、$x^2+y^2$ が $3$ で割り切れるためには、

$$ x^2+y^2\equiv 0 \pmod{3} $$

でなければならない。

ここで $x^2,y^2$ の余りはそれぞれ $0$ または $1$ であるから、和が $0$ になるのは

$$ x^2\equiv 0,\quad y^2\equiv 0 \pmod{3} $$

の場合だけである。よって

$$ x\equiv 0,\quad y\equiv 0 \pmod{3} $$

となり、$x,y$ はともに $3$ の倍数である。

これで（1）が示された。

次に（2）を示す。

$x^2+y^2$ が $27$ で割り切れるとする。特に $3$ で割り切れるので、（1）より、ある整数 $X,Y$ を用いて

$$ x=3X,\quad y=3Y $$

と書ける。

これを代入すると、

$$ x^2+y^2=9X^2+9Y^2=9(X^2+Y^2) $$

である。

いま $27\mid x^2+y^2$ であるから、

$$ 27\mid 9(X^2+Y^2) $$

となる。したがって

$$ 3\mid X^2+Y^2 $$

である。

再び（1）を用いると、$X,Y$ はともに $3$ の倍数である。よって、ある整数 $A,B$ を用いて

$$ X=3A,\quad Y=3B $$

と書ける。

したがって

$$ x=3X=9A,\quad y=3Y=9B $$

となるので、$x,y$ はともに $9$ の倍数である。

これで（2）が示された。

最後に（3）を示す。

$n$ を正の整数とし、

$$ 3^{2n-1}\mid x^2+y^2 $$

とする。

まず（1）より、$x,y$ はともに $3$ の倍数である。したがって、ある整数 $X,Y$ を用いて

$$ x=3X,\quad y=3Y $$

と書ける。

これを代入すると、

$$ x^2+y^2=9(X^2+Y^2) $$

であるから、

$$ 3^{2n-1}\mid 9(X^2+Y^2) $$

となる。

$n\geqq 2$ のとき、両辺から $9=3^2$ の分だけ指数を下げて、

$$ 3^{2n-3}\mid X^2+Y^2 $$

を得る。

ここで、同じ議論を $X,Y$ に対して繰り返す。つまり、$x,y$ がともに $3$ で割り切れることを一度示すたびに、$x,y$ から $3$ をくくり出し、条件の指数は $2$ ずつ下がる。

これを $n$ 回繰り返すと、

$$ x=3^n u,\quad y=3^n v $$

を満たす整数 $u,v$ が存在する。

したがって、$x,y$ はともに $3^n$ の倍数である。

解説

この問題の核心は、平方数の $3$ に関する余りが $0$ または $1$ に限られることである。

特に、

$$ 3\mid x^2+y^2 $$

ならば、$x^2$ と $y^2$ のどちらか一方だけが $3$ で割り切れる、ということは起こらない。両方とも $3$ で割り切れる必要がある。

（2）や（3）では、この事実を一度使うだけで終わらせず、$x=3X,\ y=3Y$ とおいて同じ形に戻すことが重要である。$x,y$ から $3$ をくくると、$x^2+y^2$ からは $3^2$ がくくり出されるので、指数が $2$ ずつ減る。この構造が $3^{2n-1}$ と $3^n$ の関係を生んでいる。