数学B 数学的帰納法 問題 44 解説

方針・初手

不等式

$$ 3^n>2n^2-n+3 $$

は $n=1,2$ では成り立たず、$n=3$ から成り立つ形である。したがって、数学的帰納法では初項を $n=3$ として確認し、$n=k$ から $n=k+1$ への推移を示す。

解法1

まず、$n=1,2,3$ の場合を調べる。

(1)

$n=1$ のとき

$$ 3^1=3,\qquad 2\cdot 1^2-1+3=4 $$

であるから、

$$ 3>4 $$

は成り立たない。よって、$n=1$ では不等式は成り立たない。

(2)

$n=2$ のとき

$$ 3^2=9,\qquad 2\cdot 2^2-2+3=9 $$

であるから、

$$ 9>9 $$

は成り立たない。よって、$n=2$ では不等式は成り立たない。

(3)

$n=3$ のとき

$$ 3^3=27,\qquad 2\cdot 3^2-3+3=18 $$

であるから、

$$ 27>18 $$

となり、$n=3$ では不等式は成り立つ。

次に、$n\geqq 3$ のときに不等式が成り立つことを数学的帰納法で示す。

まず、上で確認したように、$n=3$ のとき

$$ 3^3>2\cdot 3^2-3+3 $$

が成り立つ。

次に、$k\geqq 3$ とし、$n=k$ のとき

$$ 3^k>2k^2-k+3 $$

が成り立つと仮定する。このとき、

$$ 3^{k+1}=3\cdot 3^k $$

であるから、帰納法の仮定より

$$ 3^{k+1}>3(2k^2-k+3) $$

を得る。

ここで、右辺を $n=k+1$ のときの右辺と比較する。

$$ 3(2k^2-k+3)=6k^2-3k+9 $$

また、

$$ 2(k+1)^2-(k+1)+3=2k^2+3k+4 $$

である。差をとると、

$$ \begin{aligned} 3(2k^2-k+3)-{2(k+1)^2-(k+1)+3} &=(6k^2-3k+9)-(2k^2+3k+4)\\ &=4k^2-6k+5 \end{aligned} $$

となる。

さらに、

$$ 4k^2-6k+5=(2k-1)^2+4k $$

であり、$k\geqq 3$ ではこれは正である。したがって、

$$ 3(2k^2-k+3)>2(k+1)^2-(k+1)+3 $$

が成り立つ。

以上より、

$$ 3^{k+1}>3(2k^2-k+3)>2(k+1)^2-(k+1)+3 $$

となるので、$n=k+1$ のときも不等式は成り立つ。

よって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n\geqq 3$ について

$$ 3^n>2n^2-n+3 $$

が成り立つ。

解説

この問題では、$n=1,2$ では不等式が成り立たないため、数学的帰納法を $n=1$ から始めてはいけない。成立し始める $n=3$ を初項として確認することが重要である。

帰納法の推移では、指数関数の性質

$$ 3^{k+1}=3\cdot 3^k $$

を使い、帰納法の仮定によって $3^k$ を $2k^2-k+3$ より大きい量として評価する。その後、

$$ 3(2k^2-k+3) $$

が次の右辺

$$ 2(k+1)^2-(k+1)+3 $$

より大きいことを確認すればよい。

答え

(1)

$n=1$ のとき、成り立たない。

$n=2$ のとき、成り立たない。

$n=3$ のとき、成り立つ。

(2)

すべての自然数 $n\geqq 3$ について、

$$ 3^n>2n^2-n+3 $$

が成り立つ。