数学B 数学的帰納法 問題 53 解説

方針・初手

$b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ を実際に計算し、$5^{2^n}$ を $\left(5^{2^{n-1}}\right)^2$ と見ることが要点である。

これにより、$b_n$ は因数分解で簡単な形に直せる。その後、$a_{n+1}=b_n a_n$ を用いて、整数性と奇偶性を帰納的に示す。

解法1

まず、$a_1,a_2,a_3$ を求める。

$$ a_1=\frac{5^{2^0}-1}{2^2}=\frac{5-1}{4}=1 $$

$$ a_2=\frac{5^{2^1}-1}{2^3}=\frac{25-1}{8}=3 $$

$$ a_3=\frac{5^{2^2}-1}{2^4}=\frac{625-1}{16}=39 $$

よって、

$$ a_1=1,\qquad a_2=3,\qquad a_3=39 $$

である。

次に、$b_n$ を計算する。

$$ a_{n+1}=\frac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} b_n &=\frac{a_{n+1}}{a_n} \\ &=\frac{\dfrac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}}}{\dfrac{5^{2^{n-1}}-1}{2^{n+1}}} \\ &=\frac{5^{2^n}-1}{2\left(5^{2^{n-1}}-1\right)}. \end{aligned} $$

ここで、

$$ 5^{2^n}=\left(5^{2^{n-1}}\right)^2 $$

である。$x=5^{2^{n-1}}$ とおくと、

$$ b_n=\frac{x^2-1}{2(x-1)} $$

となる。$x>1$ なので $x-1\neq 0$ であり、因数分解して約分できる。

$$ b_n=\frac{(x-1)(x+1)}{2(x-1)}=\frac{x+1}{2} $$

したがって、

$$ b_n=\frac{5^{2^{n-1}}+1}{2} $$

である。$5^{2^{n-1}}$ は奇数であるから、$5^{2^{n-1}}+1$ は偶数である。よって $b_n$ は整数である。

次に、$a_n$ が整数であることを示す。

すでに $a_1=1$ は整数である。また、すべての自然数 $n$ について $b_n$ は整数であり、

$$ a_{n+1}=b_n a_n $$

が成り立つ。したがって、ある自然数 $k$ について $a_k$ が整数ならば、$a_{k+1}=b_k a_k$ も整数である。

数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_n$ は整数である。

最後に、$a_n$ が奇数であることを示す。

$5\equiv 1 \pmod{4}$ であるから、任意の自然数 $n$ について、

$$ 5^{2^{n-1}}\equiv 1 \pmod{4} $$

である。したがって、ある整数 $m$ を用いて

$$ 5^{2^{n-1}}=4m+1 $$

と書ける。このとき、

$$ b_n=\frac{5^{2^{n-1}}+1}{2}=\frac{4m+2}{2}=2m+1 $$

となるので、$b_n$ は奇数である。

また、$a_1=1$ は奇数である。さらに、$a_k$ が奇数ならば、$b_k$ も奇数であるから、

$$ a_{k+1}=b_k a_k $$

は奇数である。

よって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_n$ は奇数である。

解説

この問題では、直接 $a_n$ の分子が $2^{n+1}$ で割り切れることを示すよりも、まず $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ を簡単な形に直す方が自然である。

中心となる変形は、

$$ 5^{2^n}=\left(5^{2^{n-1}}\right)^2 $$

として、差の平方

$$ X^2-1=(X-1)(X+1) $$

を使うことである。これにより $b_n$ が

$$ b_n=\frac{5^{2^{n-1}}+1}{2} $$

と表され、整数性がすぐに分かる。

さらに、奇数性については $b_n$ が整数であるだけでは不十分であり、$b_n$ 自身が奇数であることを示す必要がある。そのために $5\equiv 1 \pmod{4}$ を用いるのが有効である。

答え

(1)

$$ a_1=1,\qquad a_2=3,\qquad a_3=39 $$

(2)

すべての自然数 $n$ について、

$$ b_n=\frac{5^{2^{n-1}}+1}{2} $$

であり、これは整数である。

(3)

$a_1=1$ と $a_{n+1}=b_n a_n$ より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について $a_n$ は整数である。

(4)

$5^{2^{n-1}}\equiv 1 \pmod{4}$ より $b_n$ は奇数である。さらに $a_1=1$ は奇数で、$a_{n+1}=b_n a_n$ であるから、すべての自然数 $n$ について $a_n$ は奇数である。