数学B 漸化式の応用 問題 2 解説

方針・初手

$a_{n+1}$ は $(1+\sqrt6)^{n+1}=(1+\sqrt6)(1+\sqrt6)^n$ として係数比較すればよい。

$c_n$ については、$a_n,b_n$ を直接扱うより、共役な数 $1-\sqrt6$ を用いて $a_n,b_n$ を $n$ の式で表してから代入する。

解法1

定義より

$$ (1+\sqrt6)^n=a_n+b_n\sqrt6 $$

である。両辺に $1+\sqrt6$ をかけると、

$$ (1+\sqrt6)^{n+1} =(1+\sqrt6)(a_n+b_n\sqrt6) $$

である。右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (1+\sqrt6)(a_n+b_n\sqrt6) &=a_n+b_n\sqrt6+a_n\sqrt6+6b_n \\ &=(a_n+6b_n)+(a_n+b_n)\sqrt6 \end{aligned} $$

となる。

一方、

$$ (1+\sqrt6)^{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt6 $$

であるから、$\sqrt6$ を含まない部分を比較して

$$ a_{n+1}=a_n+6b_n $$

を得る。したがって

$$ [ア]=a_n+6b_n $$

である。

次に $c_n$ を求める。共役をとると

$$ a_n-b_n\sqrt6=(1-\sqrt6)^n $$

である。よって、和と差をとることで

$$ a_n=\frac{(1+\sqrt6)^n+(1-\sqrt6)^n}{2} $$

また

$$ b_n=\frac{(1+\sqrt6)^n-(1-\sqrt6)^n}{2\sqrt6} $$

である。

ここで

$$ x=1+\sqrt6,\qquad y=1-\sqrt6 $$

とおく。このとき

$$ xy=(1+\sqrt6)(1-\sqrt6)=-5 $$

である。

$c_n=a_n^2-5b_n^2$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} c_n &=\left(\frac{x^n+y^n}{2}\right)^2 -5\left(\frac{x^n-y^n}{2\sqrt6}\right)^2 \\ &=\frac{(x^n+y^n)^2}{4} -\frac{5(x^n-y^n)^2}{24} \\ &=\frac{6(x^n+y^n)^2-5(x^n-y^n)^2}{24} \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} 6(x^n+y^n)^2-5(x^n-y^n)^2 &=6(x^{2n}+2x^ny^n+y^{2n}) \\ &\quad -5(x^{2n}-2x^ny^n+y^{2n}) \\ &=x^{2n}+22x^ny^n+y^{2n} \end{aligned} $$

となる。さらに $x^ny^n=(xy)^n=(-5)^n$ だから、

$$ c_n=\frac{x^{2n}+y^{2n}+22(-5)^n}{24} $$

である。$x=1+\sqrt6,\ y=1-\sqrt6$ を戻すと、

$$ c_n=\frac{(1+\sqrt6)^{2n}+(1-\sqrt6)^{2n}+22(-5)^n}{24} $$

となる。

したがって

$$ [イ]=\frac{(1+\sqrt6)^{2n}+(1-\sqrt6)^{2n}+22(-5)^n}{24} $$

である。

解説

$a_{n+1}$ は、$(1+\sqrt6)^n$ に $1+\sqrt6$ をかけて係数比較するだけで求まる。ここで $a_n$ と $b_n$ の両方が必要になるのは、$\sqrt6\cdot\sqrt6=6$ により、$b_n\sqrt6$ の部分から定数項 $6b_n$ が出るためである。

$c_n$ では、$a_n,b_n$ を個別に漸化式で追うと計算が重くなる。共役な式

$$ a_n-b_n\sqrt6=(1-\sqrt6)^n $$

を使うと、$a_n,b_n$ を対称的に表せるため、平方の計算が整理しやすい。

なお、$a_n^2-6b_n^2$ であればすぐに $(-5)^n$ となるが、この問題では係数が $5$ であるため、単にノルムを使うだけでは終わらない。最後に余分な $b_n^2$ の影響が残るため、上のように明示的に代入して計算する必要がある。

答え

$$ [ア]=a_n+6b_n $$

$$ [イ]=\frac{(1+\sqrt6)^{2n}+(1-\sqrt6)^{2n}+22(-5)^n}{24} $$