数学B 漸化式の応用 問題 8 解説

方針・初手

雄蜂は母である雌蜂だけをもつので、1世代さかのぼると「♂ は ♀ に置き換わる」。

雌蜂は雌蜂と雄蜂の両方を親にもつので、1世代さかのぼると「♀ は ♀♂ に置き換わる」。

したがって、各世代の記号列は、直前の世代の記号列に対して

$$ ♀ \longrightarrow ♀♂,\qquad ♂ \longrightarrow ♀ $$

という置き換えを行えばよい。

解法1

現在を $0$ 世代前とすると、記号列は次のように増えていく。

現在：

♂

1世代前：

♀

2世代前：

♀ ♂

3世代前：

♀ ♂ ♀

ここから同じ置き換えを続ける。

4世代前は、3世代前の

♀ ♂ ♀

に対して、左から順に

$$ ♀ \longrightarrow ♀♂,\qquad ♂ \longrightarrow ♀,\qquad ♀ \longrightarrow ♀♂ $$

を行うので、

4世代前：

♀ ♂ ♀ ♀ ♂

となる。

同様に、5世代前は

5世代前：

♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀ ♂ ♀

である。

さらに、6世代前は

6世代前：

♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀ ♀ ♂

である。

次に、総数を求める。$n$ 世代前の雌蜂の数を $F_n$、雄蜂の数を $M_n$、合計を $T_n$ とする。

雄蜂は雌蜂だけを親にもつので、次の世代の雄蜂の数は、現在の雌蜂の数に等しい。また、雌蜂も雄蜂もそれぞれ1匹の雌蜂を親にもつので、次の世代の雌蜂の数は、現在の総数に等しい。

よって

$$ F_{n+1}=F_n+M_n,\qquad M_{n+1}=F_n $$

である。

したがって、合計 $T_n=F_n+M_n$ について

$$ T_{n+1}=F_{n+1}+M_{n+1} $$

であり、

$$ T_{n+1}=(F_n+M_n)+F_n=T_n+F_n $$

となる。

また、$F_n=T_{n-1}$ であるから、

$$ T_{n+1}=T_n+T_{n-1} $$

を得る。

現在を $T_0$ として数えると、

$$ T_0=1,\qquad T_1=1 $$

である。よって総数は

$$ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ 233,\cdots $$

となる。

したがって、12世代前の総数は

$$ T_{12}=233 $$

である。

また、問題の指定通り $a_1=a_2=1$ として数列 ${a_n}$ で表すと、

$$ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\qquad(n\geqq 1) $$

である。

このとき、現在の総数が $a_1$、1世代前の総数が $a_2$ に対応するので、12世代前の総数は

$$ a_{13}=233 $$

である。

解説

この問題の本質は、蜂の性別によって親の数が異なることを、記号の置き換え規則として処理する点にある。

雌蜂は親が2匹なので「♀♂」に増え、雄蜂は親が1匹なので「♀」に変わる。この操作を繰り返すと、総数は前2項の和になる。したがって、総数はフィボナッチ数列になる。

ただし、問題文では $a_1=a_2=1$ と指定されているため、現在を第1項、1世代前を第2項と対応させるのが自然である。この対応により、12世代前は $a_{13}$ になる。

答え

(1)

4世代前：

♀ ♂ ♀ ♀ ♂

5世代前：

♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀ ♂ ♀

6世代前：

♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀ ♀ ♂

(2)

12世代前の雄蜂と雌蜂を合わせた総数は

$$ 233 $$

である。

(3)

数列 ${a_n}$ は

$$ a_1=a_2=1,\qquad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\qquad(n\geqq 1) $$

で表される。