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数学B 数列･確率問題 2 解説

方針・初手

各回の操作では、偶数のカード $2$ が出る確率は $\dfrac{1}{3}$、奇数のカード $1,3$ が出る確率は $\dfrac{2}{3}$ である。

合計の偶奇は、偶数を加えても変わらず、奇数を加えると反転する。したがって、$n$ 回目までの合計が偶数か奇数かに注目して漸化式を立てる。

解法1

$n$ 回取り出した後の合計が偶数である確率を $P_n$ とする。このとき、合計が奇数である確率は $1-P_n$ である。

$n+1$ 回目の後に合計が偶数になるのは、次の2通りである。

(i)

$n$ 回目までの合計が偶数で、$n+1$ 回目に偶数のカード $2$ を引く。

この確率は

$$ P_n \cdot \frac{1}{3} $$

である。

(ii)

$n$ 回目までの合計が奇数で、$n+1$ 回目に奇数のカード $1,3$ を引く。

この確率は

$$ (1-P_n)\cdot \frac{2}{3} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= P_n\cdot \frac{1}{3} + (1-P_n)\cdot \frac{2}{3} \end{aligned} $$

より

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{1}{3}P_n+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}P_n \\ \frac{2}{3}-\frac{1}{3}P_n \end{aligned} $$

である。

次に、$P_n$ を $n$ の式で表す。まず $1$ 回取り出したとき、合計が偶数となるのはカード $2$ を引いたときだけなので

$$ P_1=\frac{1}{3} $$

である。

漸化式

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{2}{3}-\frac{1}{3}P_n \end{aligned} $$

の定数解を求める。$P_{n+1}=P_n=\alpha$ とおくと

$$ \alpha=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\alpha $$

より

$$ \frac{4}{3}\alpha=\frac{2}{3} $$

したがって

$$ \alpha=\frac{1}{2} $$

である。

そこで

$$ Q_n=P_n-\frac{1}{2} $$

とおくと

$$ \begin{aligned} Q_{n+1} &=P_{n+1}-\frac{1}{2} \\ &=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}P_n\right)-\frac{1}{2} \\ &=-\frac{1}{3}\left(P_n-\frac{1}{2}\right) \\ &=-\frac{1}{3}Q_n \end{aligned} $$

となる。

また

$$ \begin{aligned} Q_1=P_1-\frac{1}{2} &= \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。よって $Q_n$ は初項 $-\dfrac{1}{6}$、公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列だから

$$ \begin{aligned} Q_n &= -\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1}{2} -\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。これは

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

とも書ける。

解法2

合計が偶数になるためには、$n$ 回のうち奇数のカードを引いた回数が偶数であればよい。

各回で奇数のカードを引く確率は $\dfrac{2}{3}$、偶数のカードを引く確率は $\dfrac{1}{3}$ である。したがって、奇数のカードをちょうど $k$ 回引く確率は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} P_n &= \sum_{\substack{0\le k\le n\ k\text{ は偶数}}} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} \end{aligned} $$

である。

偶数番目の項だけを取り出す公式

$$ \begin{aligned} \sum_{\substack{0\le k\le n\ k\text{ は偶数}}} {}_{n}\mathrm{C}_{k}a^k b^{n-k} &= \frac{(a+b)^n+(-a+b)^n}{2} \end{aligned} $$

を用いると、$a=\dfrac{2}{3}$、$b=\dfrac{1}{3}$ より

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^n+\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^n}{2} \\ &= \frac{1^n+\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} \\ &= \frac{1+\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} \end{aligned} $$

となる。