数学B 数列･確率 問題 22 解説

方針・初手

点 $X$ が頂点 $A$ にいる確率を直接追う。対称性より、$n$ 回後に $X$ が頂点 $B$ にいる確率と頂点 $C$ にいる確率は等しいので、それぞれ

$$ \frac{1-P_n}{2} $$

と表せる。この対称性を使って、$P_{n+1}$ を $P_n$ だけで表す。

解法1

サイコロの目による移動は次の通りである。

$5$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、$6$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、それ以外の目が出て動かない確率は

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

である。

まず、$P_1$ は $1$ 回投げた後にまだ $A$ にいる確率である。はじめ $X$ は $A$ にいるので、$A$ に残るには $5,6$ 以外の目が出ればよい。したがって

$$ P_1=\frac{2}{3} $$

である。

次に、$P_2$ を求める。$P_{n+1}$ の漸化式を先に作る。

$n$ 回後に $X$ が $A$ にいる確率は $P_n$ である。このとき、次の $1$ 回で $A$ に残る確率は $\frac{2}{3}$ なので、これによる寄与は

$$ \frac{2}{3}P_n $$

である。

一方、$n$ 回後に $X$ が $B$ または $C$ にいる確率は $1-P_n$ である。対称性より、$B,C$ にいる確率はそれぞれ

$$ \frac{1-P_n}{2} $$

である。

$B$ から $A$ に移るには、時計回りまたは反時計回りのうち、$A$ に向かう一方の移動が起こればよいので、その確率は $\frac{1}{6}$ である。同様に、$C$ から $A$ に移る確率も $\frac{1}{6}$ である。

よって、$B,C$ から $A$ に移る確率の寄与は

$$ \frac{1-P_n}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1-P_n}{2}\cdot \frac{1}{6} =\frac{1-P_n}{6} $$

である。

したがって

$$ P_{n+1} =\frac{2}{3}P_n+\frac{1-P_n}{6} =\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} $$

となる。

これを用いて、$P_2,P_3$ を求める。

$$ P_2=\frac{1}{2}P_1+\frac{1}{6} =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{6} =\frac{1}{2} $$

また、

$$ P_3=\frac{1}{2}P_2+\frac{1}{6} =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{6} =\frac{5}{12} $$

である。

次に、一般項を求める。

漸化式

$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} $$

の定常値を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{6} $$

より、

$$ \alpha=\frac{1}{3} $$

である。

したがって、漸化式から

$$ P_{n+1}-\frac{1}{3} =\frac{1}{2}\left(P_n-\frac{1}{3}\right) $$

を得る。

はじめ $X$ は頂点 $A$ にあるので

$$ P_0=1 $$

である。よって

$$ P_0-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

だから、

$$ P_n-\frac{1}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot \frac{2}{3} $$

となる。

したがって

$$ P_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

である。

解説

この問題の要点は、$B$ と $C$ を別々に詳しく追わず、対称性を使ってまとめることである。

時計回りと反時計回りの移動確率がともに $\frac{1}{6}$ であり、初期位置が $A$ で左右対称であるため、任意の $n$ において $B$ にいる確率と $C$ にいる確率は等しい。このため、$A$ にいる確率 $P_n$ だけで次の確率 $P_{n+1}$ を表せる。

漸化式

$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} $$

を作った後は、定常値 $\frac{1}{3}$ を引いて等比数列に帰着するのが標準的な処理である。

答え

(1)

$$ P_1=\frac{2}{3},\qquad P_2=\frac{1}{2},\qquad P_3=\frac{5}{12} $$

(2)

$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} $$

(3)

$$ P_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$