数学B 数列･確率 問題 36 解説

方針・初手

$g(x)=ax^2+bx$ という形の多項式に対して、「表」と「裏」の操作が係数 $(a,b)$ をどう変えるかを先に調べる。すると、各回の硬貨の出方は係数の変換として扱える。

解法1

まず、$g(x)=ax^2+bx$ とする。

$$ g'(x)=2ax+b $$

より、

$$ xg'(x)=x(2ax+b)=2ax^2+bx $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} g(t+1)-g(t) &={a(t+1)^2+b(t+1)}-(at^2+bt)\\ &=a{(t+1)^2-t^2}+b\\ &=a(2t+1)+b\\ &=2at+a+b \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^x {g(t+1)-g(t)},dt &=\int_0^x (2at+a+b),dt\\ &=ax^2+(a+b)x \end{aligned} $$

よって、$g(x)=ax^2+bx$ を係数の組 $(a,b)$ で表すと、表が出たときの変換を $H$、裏が出たときの変換を $T$ として、

$$ H(a,b)=(2a,b),\qquad T(a,b)=(a,a+b) $$

である。

初期状態は

$$ g_0(x)=x^2 $$

なので、係数は

$$ (1,0) $$

である。

(i)

$n=2$ のとき、表裏の出方は4通りである。

(表表)

$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{H}(4,0) $$

したがって、

$$ f(x)=4x^2 $$

である。

(表裏)

$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{T}(2,2) $$

したがって、

$$ f(x)=2x^2+2x $$

である。

(裏表)

$$ (1,0)\xrightarrow{T}(1,1)\xrightarrow{H}(2,1) $$

したがって、

$$ f(x)=2x^2+x $$

である。

(裏裏)

$$ (1,0)\xrightarrow{T}(1,1)\xrightarrow{T}(1,2) $$

したがって、

$$ f(x)=x^2+2x $$

である。

（ii） すべて裏が出るときは、変換 $T$ だけを $n$ 回繰り返す。

$T(a,b)=(a,a+b)$ であるから、$a$ は変化せず、$b$ は毎回 $a$ だけ増える。初期状態では $(a,b)=(1,0)$ なので、$k$ 回裏が出た後の係数は

$$ (1,k) $$

である。

よって、$n$ 回すべて裏が出たとき、

$$ f(x)=x^2+nx $$

である。

(iii)

$n=5$ で $f(x)=8x^2+10x$ となる場合を考える。

最終的な $x^2$ の係数は $8$ である。表の変換 $H$ は $a$ を2倍し、裏の変換 $T$ は $a$ を変えない。初期値は $a=1$ なので、表が出た回数を $m$ 回とすると、

$$ 2^m=8 $$

である。したがって、

$$ m=3 $$

である。

つまり、5回中、表が3回、裏が2回出ている。

次に、$x$ の係数 $b$ を考える。裏が出たとき、$T(a,b)=(a,a+b)$ なので、その時点での $a$ が $b$ に加えられる。

表がそれまでに $r$ 回出ているとき、$a=2^r$ である。したがって、2回の裏によって $b$ に加わる値は、それぞれ

$$ 2^r $$

の形である。

最終的に $b=10$ であるから、2回の裏で加わる値の和は

$$ 10 $$

でなければならない。

表は全部で3回なので、裏が出る時点での $a$ は

$$ 1,\ 2,\ 4,\ 8 $$

のいずれかである。このうち2つの和が $10$ になるのは

$$ 2+8=10 $$

だけである。

したがって、1回目の裏は表が1回出た後、2回目の裏は表が3回すべて出た後でなければならない。

よって、出方は

$$ \text{表，裏，表，表，裏} $$

である。

実際に確認すると、

$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{T}(2,2)\xrightarrow{H}(4,2)\xrightarrow{H}(8,2)\xrightarrow{T}(8,10) $$

となるので、

$$ f(x)=8x^2+10x $$

である。

解説

この問題では、各回の操作を直接関数で追いかけると煩雑になる。重要なのは、$g(x)=ax^2+bx$ という形が、表の操作でも裏の操作でも保たれることである。

そのため、関数そのものではなく係数 $(a,b)$ の変化だけを追えばよい。表は

$$ (a,b)\mapsto (2a,b) $$

裏は

$$ (a,b)\mapsto (a,a+b) $$

という変換になる。

特に （iii） では、$x^2$ の係数から表の回数が決まり、$x$ の係数から裏が出た位置が決まる。表は $a$ を2倍し、裏はその時点の $a$ を $b$ に加える、という構造を押さえることが核心である。

答え

(1)

$$ xg'(x)=2ax^2+bx $$

$$ \int_0^x {g(t+1)-g(t)},dt=ax^2+(a+b)x $$

(2)(i)

$$ \begin{aligned} \text{表表} &: 4x^2\\ \text{表裏} &: 2x^2+2x\\ \text{裏表} &: 2x^2+x\\ \text{裏裏} &: x^2+2x \end{aligned} $$

(2)(ii)

$$ f(x)=x^2+nx $$

(2)(iii)

$$ \text{表，裏，表，表，裏} $$