数学B 数列の和 問題 7 解説

方針・初手

$\cos^2 x$ を $1+\cos 2x$ に直すと、和は定数部分と余弦の和に分かれる。余弦の和は周期性を使えば処理できる。

解法1

求める和を

$$ S=\sum_{k=1}^{12n-1}\left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 $$

とおく。

三角関数の半角公式

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 &= \frac{1+\cos \frac{k\pi}{6}}{2} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ S = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{12n-1}1 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{12n-1}\cos \frac{k\pi}{6} $$

となる。

まず定数部分は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{12n-1}1 &= \frac{12n-1}{2} \end{aligned} $$

である。

次に

$$ \cos \frac{k\pi}{6} $$

は $k$ について周期 $12$ をもつ。また、

$$ \sum_{k=1}^{12}\cos \frac{k\pi}{6}=0 $$

である。よって

$$ \sum_{k=1}^{12n}\cos \frac{k\pi}{6}=0 $$

となる。

したがって、最後の $k=12n$ の項を除いた和は

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{12n-1}\cos \frac{k\pi}{6} &= -\cos \frac{12n\pi}{6} \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \cos \frac{12n\pi}{6} &= \cos 2n\pi \\ 1 \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{12n-1}\cos \frac{k\pi}{6} &= -1 \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} S = \\ \frac{12n-1}{2} + \frac{1}{2}(-1) &= \frac{12n-2}{2} \\ 6n-1 \end{aligned} $$

である。

解法2

$\cos^2 x$ は $x$ を $\pi$ だけ増やしても値が変わらないので、

$$ \begin{aligned} \left(\cos \frac{(k+12)\pi}{12}\right)^2 &= \left(\cos\left(\frac{k\pi}{12}+\pi\right)\right)^2 \\ \left(-\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 \\ \left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 \end{aligned} $$

である。したがって、各項は $k$ について周期 $12$ をもつ。

まず $1$ 周期分の和を求める。

$$ \sum_{k=1}^{12}\left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 $$

を考える。半角公式より

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{12}\left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{12}1 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{12}\cos \frac{k\pi}{6} \end{aligned} $$

である。後半の余弦和は $1$ 周期分なので $0$ となる。したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{12}\left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 &= \frac{12}{2} \\ 6 \end{aligned} $$

である。

求める和は $k=1$ から $k=12n-1$ までなので、$k=1$ から $k=12n$ までの $n$ 周期分の和から、最後の $k=12n$ の項を引けばよい。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{12n}\left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 &= 6n \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \left(\cos \frac{12n\pi}{12}\right)^2 &= (\cos n\pi)^2 \\ 1 \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \sum_{k=1}^{12n-1}\left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 =6n-1 $$

である。

解説

この問題の中心は、三角関数の周期性に気づくことである。上端が $12n-1$ であるため、$12$ 項を $1$ 周期としてまとめると、最後の $1$ 項だけが欠ける形になる。

解法1では $\cos^2 x$ を余弦の一次式に直し、余弦和の周期性で処理した。解法2では $\cos^2$ 自体の周期に注目して、$1$ 周期分の和を先に求めている。どちらも本質は同じだが、解法2のほうが上端 $12n-1$ の意味が見えやすい。

答え

$$ \sum_{k=1}^{12n-1}\left(\cos \frac{k\pi}{12}\right)^2 =6n-1 $$