数学B 数列の和 問題 9 解説

方針・初手

（1） は和を逆順にも並べ、同じ和を2つ足すことで求める。

（2） は初項を $a$ とおき、数列を

$$ a,\ a+1,\ a+2,\ \ldots,\ a+2n $$

と表す。条件を平方和の等式に直し、（1） の結果を用いて $a$ の方程式を作る。

解法1

(1)

求める和を

$$ S=1+2+3+\cdots+n $$

とおく。これを逆順に書くと

$$ S=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1 $$

である。2つを辺々加えると、各組の和はすべて $n+1$ になるから、

$$ \begin{aligned} 2S&=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\cdots+(n+1)\\ &=n(n+1) \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ S=\frac{n(n+1)}{2} $$

である。よって、

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} $$

が示された。

(2)

初項を $a$ とする。公差が $1$ で、項数が $2n+1$ であるから、この数列は

$$ a,\ a+1,\ a+2,\ \ldots,\ a+2n $$

と表される。

初項から $n+1$ 個の項の平方の和は

$$ \sum_{k=0}^{n}(a+k)^2 $$

であり、その後に続く $n$ 個の項の平方の和は

$$ \sum_{k=n+1}^{2n}(a+k)^2 $$

である。条件より、

$$ \sum_{k=0}^{n}(a+k)^2=\sum_{k=n+1}^{2n}(a+k)^2 $$

である。

まず左辺を計算する。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}(a+k)^2 &=\sum_{k=0}^{n}(a^2+2ak+k^2)\\ &=(n+1)a^2+2a\sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=0}^{n}k^2\\ &=(n+1)a^2+a n(n+1)+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} $$

次に右辺を計算する。まず

$$ \sum_{k=n+1}^{2n}k=\sum_{k=1}^{2n}k-\sum_{k=1}^{n}k $$

であるから、（1） より

$$ \begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{2n}k &=\frac{2n(2n+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}\\ &=n(2n+1)-\frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{n(3n+1)}{2} \end{aligned} $$

である。また、

$$ \sum_{k=n+1}^{2n}k^2=\sum_{k=1}^{2n}k^2-\sum_{k=1}^{n}k^2 $$

であり、

$$ \sum_{k=1}^{m}k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{2n}k^2 &=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6} \end{aligned} $$

となる。したがって右辺は

$$ \begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{2n}(a+k)^2 &=na^2+2a\sum_{k=n+1}^{2n}k+\sum_{k=n+1}^{2n}k^2\\ &=na^2+a n(3n+1)+\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6} \end{aligned} $$

である。

よって条件式は

$$ (n+1)a^2+a n(n+1)+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =na^2+a n(3n+1)+\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6} $$

となる。これを整理する。

$$ \begin{aligned} 0 &=na^2-(n+1)a^2+a n(3n+1)-a n(n+1)\\ &\quad+\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=-a^2+2n^2a+n^2(2n+1) \end{aligned} $$

したがって、

$$ a^2-2n^2a-n^2(2n+1)=0 $$

である。これを解くと、

$$ \begin{aligned} a &=\frac{2n^2\pm\sqrt{4n^4+4n^2(2n+1)}}{2}\\ &=n^2\pm n\sqrt{n^2+2n+1}\\ &=n^2\pm n(n+1) \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ a=-n,\quad a=n(2n+1) $$

である。

解説

（2） では、項そのものではなく平方和を比較するため、初項を $a$ とおいて展開し、$a$ についての2次方程式に持ち込むのが自然である。

注意すべき点は、前半が $n+1$ 個、後半が $n$ 個であることである。項数が異なるため、単純な対称性だけでは決まらず、平方和を正確に計算する必要がある。

また、初項については2つの値が出る。問題文に正の数列などの条件はないので、両方とも答えとして認める必要がある。

答え

(1)

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} $$

(2)

初項は

$$ -n,\quad n(2n+1) $$

である。