数学B 数列の和 問題 23 解説

方針・初手

項に $k$ が含まれるので、等比数列の和そのものではなく、和全体を $\frac12$ 倍して元の式から引く方法を用いる。

解法1

求める和を

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{3k}{2^k} $$

とおく。これを具体的に書くと

$$ S_n=\frac{3}{2}+\frac{6}{2^2}+\frac{9}{2^3}+\cdots+\frac{3n}{2^n} $$

である。

両辺を $\frac12$ 倍すると

$$ \frac12 S_n=\frac{3}{2^2}+\frac{6}{2^3}+\frac{9}{2^4}+\cdots+\frac{3n}{2^{n+1}} $$

となる。よって、$S_n-\frac12S_n$ を考えると、同じ分母をもつ項どうしで係数の差が $3$ になる。

$$ \begin{aligned} \frac12 S_n &=\frac{3}{2} +\left(\frac{6-3}{2^2}+\frac{9-6}{2^3}+\cdots+\frac{3n-3(n-1)}{2^n}\right) -\frac{3n}{2^{n+1}} \\ &=\frac{3}{2} +\left(\frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{3}{2^n}\right) -\frac{3n}{2^{n+1}}. \end{aligned} $$

ここで

$$ \frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{3}{2^n} =3\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right) $$

であり、

$$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n} =\frac12-\frac{1}{2^n} $$

だから、

$$ \frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{3}{2^n} =\frac32-\frac{3}{2^n}. $$

したがって

$$ \begin{aligned} \frac12 S_n &=\frac32+\left(\frac32-\frac{3}{2^n}\right)-\frac{3n}{2^{n+1}} \\ &=3-\frac{3}{2^n}-\frac{3n}{2^{n+1}}. \end{aligned} $$

両辺を $2$ 倍して

$$ \begin{aligned} S_n &=6-\frac{6}{2^n}-\frac{3n}{2^n} \\ &=6-\frac{3n+6}{2^n} \\ &=6-\frac{3(n+2)}{2^n}. \end{aligned} $$

解説

$k$ が係数として付いている和

$$ \sum_{k=1}^{n} k r^k $$

の形では、等比数列の和をそのまま使うのではなく、全体を公比倍して引くのが基本である。

この問題では分母が $2^k$ なので、全体を $\frac12$ 倍してずらすと、途中の項の差がすべて $3$ になる。最後に残る項 $-\frac{3n}{2^{n+1}}$ を落とすと答えがずれるので注意する。

答え

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{3k}{2^k} =6-\frac{3(n+2)}{2^n} $$