数学B 数列の和 問題 25 解説

方針・初手

部分和 $S_n$ から第 $n$ 項 $a_n$ を求めるには、

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

を用いる。ただし $a_1=S_1$ であるため、まず $n\geqq2$ で求めた式が $n=1$ にも成り立つか確認する。

解法1

与えられた部分和は

$$ S_n=n(n-6) $$

である。

$n=1$ のとき、

$$ a_1=S_1=1(1-6)=-5 $$

である。

次に $n\geqq2$ のとき、

$$ \begin{aligned} a_n &=S_n-S_{n-1} \\ &=n(n-6)-(n-1){(n-1)-6} \\ &=n(n-6)-(n-1)(n-7) \\ &=(n^2-6n)-(n^2-8n+7) \\ &=2n-7 \end{aligned} $$

となる。

この式に $n=1$ を代入すると

$$ 2\cdot1-7=-5 $$

となり、先に求めた $a_1$ と一致する。よって、すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n=2n-7 $$

である。

次に、

$$ a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{49} $$

を求める。奇数番目の項は、$n=1,3,5,\ldots,49$ であり、これは初項 $1$、末項 $49$、公差 $2$ の等差数列であるから、項数は

$$ \frac{49-1}{2}+1=25 $$

である。

$a_n=2n-7$ より、

$$ a_1=2\cdot1-7=-5 $$

また、

$$ a_{49}=2\cdot49-7=91 $$

である。

したがって、求める和は、初項 $-5$、末項 $91$、項数 $25$ の等差数列の和であるから、

$$ \begin{aligned} a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{49} &=\frac{25(-5+91)}{2} \\ &=\frac{25\cdot86}{2} \\ &=1075 \end{aligned} $$

となる。

解説

部分和 $S_n$ が与えられている数列では、第 $n$ 項は隣り合う部分和の差として求めるのが基本である。

ただし、$a_n=S_n-S_{n-1}$ はそのままでは $n\geqq2$ に対する式なので、最後に $n=1$ でも同じ式が成り立つかを確認する必要がある。本問では $a_n=2n-7$ が $n=1$ にも成り立つため、一般項としてそのまま使える。

奇数番目の項の和は、$a_1,a_3,a_5,\ldots,a_{49}$ が等差数列になることに注目すればよい。一般項 $a_n=2n-7$ が一次式であるため、添字を等間隔に取った項も等差数列になる。

答え

$$ \boxed{[ア]\ 2n-7} $$

$$ \boxed{[イ]\ 1075} $$