数学B 数列の和 問題 32 解説

方針・初手

和

$$ S=\sum_{n=1}^{6}(2n-1)2^{2n-1} $$

を、$2^{2n-1}=2\cdot 4^{n-1}$ と見て、等比数列の和とその微分型の公式を用いて処理する。

解法1

まず

$$ S=\sum_{n=1}^{6}(2n-1)2^{2n-1} =2\sum_{n=1}^{6}(2n-1)4^{n-1} $$

である。よって

$$ S=4\sum_{n=1}^{6}n4^{n-1}-2\sum_{n=1}^{6}4^{n-1} $$

となる。

ここで、等比数列の和より

$$ \sum_{n=1}^{6}4^{n-1} =\frac{4^6-1}{4-1} =\frac{2^{12}-1}{3} $$

である。

また、公式

$$ \sum_{n=1}^{N}nr^{n-1} =\frac{1-(N+1)r^N+Nr^{N+1}}{(1-r)^2} $$

に $N=6,\ r=4$ を代入すると、

$$ \sum_{n=1}^{6}n4^{n-1} =\frac{1-7\cdot 4^6+6\cdot 4^7}{9} =\frac{1-7\cdot 2^{12}+6\cdot 2^{14}}{9} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=4\cdot \frac{1-7\cdot 2^{12}+6\cdot 2^{14}}{9} -2\cdot \frac{2^{12}-1}{3} \\ &=\frac{4-28\cdot 2^{12}+24\cdot 2^{14}}{9} -\frac{6\cdot 2^{12}-6}{9} \\ &=\frac{10-34\cdot 2^{12}+24\cdot 2^{14}}{9} \end{aligned} $$

ここで $24\cdot 2^{14}=96\cdot 2^{12}$ だから、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{10+62\cdot 2^{12}}{9} \\ &=\frac{10}{9}+\frac{31\cdot 2^{13}}{9} \\ &=\frac{5}{9}\cdot 2+\frac{2^{13}}{9}\cdot 31 \end{aligned} $$

となる。

解説

$(2n-1)2^{2n-1}$ は、係数が等差的に変化し、指数部分が等比的に変化する形である。このような和は、$2^{2n-1}=2\cdot 4^{n-1}$ と直して、$\sum 4^{n-1}$ と $\sum n4^{n-1}$ に分けると計算しやすい。

最後は、問題の形

$$ \frac{5}{9}\times [\ ]+\frac{2^{13}}{9}\times [\ ] $$

に合わせて

$$ \frac{10}{9}+\frac{31\cdot 2^{13}}{9} =\frac{5}{9}\times 2+\frac{2^{13}}{9}\times 31 $$

と整理する。

答え

$$ \sum_{n=1}^{6}(2n-1)2^{2n-1} =\frac{5}{9}\times 2+\frac{2^{13}}{9}\times 31 $$

したがって、空欄は

$$ \boxed{2},\quad \boxed{31} $$