数学B 連立漸化式 問題 4 解説

方針・初手

内分点の座標公式を順に使う。特に、$A_{n+1}$ を求めたあとで、その $A_{n+1}$ を用いて $B_{n+1}$ を求める点に注意する。

点 $P$ が点 $X,Y$ を $m:n$ に内分するとき、すなわち $XP:PY=m:n$ のとき、座標は

$$ P=\frac{nx_X+mx_Y}{m+n} $$

である。

解法1

$A_{n+1}$ は線分 $A_nB_n$ を $2:1$ に内分するから、

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+2b_n}{3} $$

である。

また、$B_{n+1}$ は線分 $B_nA_{n+1}$ を $2:1$ に内分するから、

$$ b_{n+1}=\frac{b_n+2a_{n+1}}{3} $$

である。ここに $a_{n+1}=\dfrac{a_n+2b_n}{3}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\frac{1}{3}\left(b_n+2\cdot\frac{a_n+2b_n}{3}\right)\\ &=\frac{1}{3}\cdot\frac{2a_n+7b_n}{3}\\ &=\frac{2a_n+7b_n}{9} \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+2b_n),\qquad b_{n+1}=\frac{1}{9}(2a_n+7b_n) $$

である。

次に、$a_1=1,\ b_1=4$ のとき、

$$ a_2=\frac{1+2\cdot4}{3}=3 $$

である。また、

$$ b_2=\frac{2\cdot1+7\cdot4}{9}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3} $$

である。

ここで $c_n=b_n-a_n$ とおく。すると、

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &=b_{n+1}-a_{n+1}\\ &=\frac{2a_n+7b_n}{9}-\frac{a_n+2b_n}{3}\\ &=\frac{2a_n+7b_n-3a_n-6b_n}{9}\\ &=\frac{b_n-a_n}{9}\\ &=\frac{1}{9}c_n \end{aligned} $$

である。

また、

$$ c_1=b_1-a_1=4-1=3 $$

だから、数列 ${c_n}$ は初項 $3$、公比 $\dfrac{1}{9}$ の等比数列である。したがって、

$$ c_n=3\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1} $$

である。

さらに、

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+2b_n}{3} $$

に $b_n=a_n+c_n$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{a_n+2(a_n+c_n)}{3}\\ &=a_n+\frac{2}{3}c_n\\ &=a_n+\frac{2}{3}\cdot3\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\\ &=a_n+2\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ a_{n+1}-a_n=2\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1} $$

である。これを $n=1$ から $n-1$ まで足すと、

$$ \begin{aligned} a_n-a_1 &=\sum_{k=1}^{n-1}2\left(\frac{1}{9}\right)^{k-1}\\ &=2\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{9}}\\ &=2\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}}{\frac{8}{9}}\\ &=\frac{9}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\right\} \end{aligned} $$

である。$a_1=1$ より、

$$ \begin{aligned} a_n &=1+\frac{9}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\right\}\\ &=\frac{13}{4}-\frac{9}{4}\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\\ &=\frac{1}{4}\left(13-9\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\right) \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$A_{n+1}$ と $B_{n+1}$ が同時に定義されているように見えるが、実際には $A_{n+1}$ を先に求め、その値を使って $B_{n+1}$ を求める構造である。

また、$a_n,b_n$ をそれぞれ直接求めようとすると式が複雑になる。そこで差 $c_n=b_n-a_n$ に注目すると、

$$ c_{n+1}=\frac{1}{9}c_n $$

となり、等比数列として処理できる。この差を使って $a_{n+1}-a_n$ を表すのが、一般項を求めるための重要な流れである。

答え

(1)

$$ a_2=3,\qquad b_2=\frac{10}{3} $$

(2)

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+2b_n) $$

$$ b_{n+1}=\frac{1}{9}(2a_n+7b_n) $$

(3)

$$ c_n=b_n-a_n $$

とおくと、${c_n}$ は初項 $3$、公比 $\dfrac{1}{9}$ の等比数列である。

(4)

$$ a_{n+1}=a_n+2\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1} $$

(5)

$$ a_n=\frac{1}{4}\left(13-9\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\right) $$