数学B 連立漸化式 問題 7 解説

方針・初手

$a_n$ だけの漸化式を作る。与えられた連立漸化式から $b_n$ を消去すると、$a_n$ は2階線形漸化式を満たす。これを因数分解できる形に直すと、(1) の $\alpha,\beta$ が自然に決まる。

解法1

まず

$$ a_{n+1}=2a_n+6b_n $$

より

$$ b_n=\frac{a_{n+1}-2a_n}{6} $$

である。

また

$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+6b_{n+1} $$

であり、$b_{n+1}=2a_n+3b_n$ だから

$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+6(2a_n+3b_n) $$

となる。ここに $b_n=\dfrac{a_{n+1}-2a_n}{6}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} a_{n+2} &=2a_{n+1}+12a_n+18\cdot\frac{a_{n+1}-2a_n}{6}\\ &=2a_{n+1}+12a_n+3a_{n+1}-6a_n\\ &=5a_{n+1}+6a_n \end{aligned} $$

である。したがって

$$ a_{n+2}-5a_{n+1}-6a_n=0 $$

を得る。

（1）

求める形

$$ a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) $$

を整理すると、

$$ a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0 $$

である。

これが

$$ a_{n+2}-5a_{n+1}-6a_n=0 $$

と一致すればよいから、

$$ \alpha+\beta=5,\qquad \alpha\beta=-6 $$

を満たす $\alpha,\beta$ を求める。

よって $\alpha,\beta$ は方程式

$$ t^2-5t-6=0 $$

の2解である。因数分解すると

$$ (t-6)(t+1)=0 $$

より、

$$ t=6,-1 $$

である。

したがって、求める組は

$$ (\alpha,\beta)=(6,-1),\quad (-1,6) $$

である。

（2）

(1) より、まず $(\alpha,\beta)=(-1,6)$ を用いると

$$ a_{n+2}+a_{n+1}=6(a_{n+1}+a_n) $$

である。したがって数列 $a_{n+1}+a_n$ は公比 $6$ の等比数列である。

初項は

$$ a_2+a_1 $$

である。ここで

$$ a_2=2a_1+6b_1=2\cdot1+6\cdot1=8 $$

だから、

$$ a_2+a_1=8+1=9 $$

である。よって

$$ a_{n+1}+a_n=9\cdot6^{n-1} $$

を得る。

次に $(\alpha,\beta)=(6,-1)$ を用いると

$$ a_{n+2}-6a_{n+1}=-(a_{n+1}-6a_n) $$

である。したがって数列 $a_{n+1}-6a_n$ は公比 $-1$ の等比数列である。

初項は

$$ a_2-6a_1=8-6=2 $$

だから、

$$ a_{n+1}-6a_n=2(-1)^{n-1} $$

である。

ここで

$$ a_{n+1}+a_n=9\cdot6^{n-1} $$

と

$$ a_{n+1}-6a_n=2(-1)^{n-1} $$

を辺々引くと、

$$ 7a_n=9\cdot6^{n-1}-2(-1)^{n-1} $$

となる。したがって

$$ a_n=\frac{9\cdot6^{n-1}-2(-1)^{n-1}}{7} $$

である。

（3）

$a_{n+1}=2a_n+6b_n$ より

$$ b_n=\frac{a_{n+1}-2a_n}{6} $$

である。

(2) の結果を用いると、

$$ a_n=\frac{9\cdot6^{n-1}-2(-1)^{n-1}}{7} $$

であり、

$$ a_{n+1}=\frac{9\cdot6^n-2(-1)^n}{7} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} b_n &=\frac{1}{6}\left\{\frac{9\cdot6^n-2(-1)^n}{7} -2\cdot\frac{9\cdot6^{n-1}-2(-1)^{n-1}}{7}\right\}\\ &=\frac{6^n+(-1)^{n-1}}{7} \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{9\cdot6^{n-1}-2(-1)^{n-1}}{6^n+(-1)^{n-1}} \end{aligned} $$

である。分子・分母を $6^{n-1}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{9-2\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}}{6+\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}} \end{aligned} $$

である。

$n\to\infty$ のとき

$$ \left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\to0 $$

だから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} &= \frac{9}{6} \\ \frac{3}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、連立漸化式から $a_n$ だけの2階漸化式を作ることである。$b_n$ を消去すると

$$ a_{n+2}=5a_{n+1}+6a_n $$

となり、この特性方程式

$$ t^2-5t-6=0 $$

の解が $6,-1$ であることから、(1) の $\alpha,\beta$ が決まる。

(2) では、単に特性方程式を使ってもよいが、(1) の形を利用すると

$$ a_{n+1}+a_n,\qquad a_{n+1}-6a_n $$

という2つの等比数列が得られる。これを連立して $a_n$ を求めるのが自然である。

答え

(1)

$$ (\alpha,\beta)=(6,-1),\quad (-1,6) $$

(2)

$$ a_n=\frac{9\cdot6^{n-1}-2(-1)^{n-1}}{7} $$

(3)

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{3}{2} $$