数学B 2項間漸化式 問題 14 解説

方針・初手

漸化式に含まれる非同次項 $2^{n+1}$ を消すため、問題で指定された $b_n=a_n-2^n$ を用いる。まずは漸化式から直接 $a_2,a_6$ を求め、その後 $b_n$ の等比数列化を利用して一般項を求める。

解法1

(1)

$a_1=0$ より、

$$ a_2=4a_1-2^2=4\cdot 0-4=-4 $$

である。

続けて計算すると、

$$ \begin{aligned} a_3&=4a_2-2^3=4(-4)-8=-24,\\ a_4&=4a_3-2^4=4(-24)-16=-112,\\ a_5&=4a_4-2^5=4(-112)-32=-480,\\ a_6&=4a_5-2^6=4(-480)-64=-1984 \end{aligned} $$

したがって、

$$ a_2=-4,\qquad a_6=-1984 $$

である。

(2)

$b_n=a_n-2^n$ とする。

このとき、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+1}-2^{n+1}\\ &=(4a_n-2^{n+1})-2^{n+1}\\ &=4a_n-2^{n+2}\\ &=4a_n-4\cdot 2^n\\ &=4(a_n-2^n)\\ &=4b_n \end{aligned} $$

よって、

$$ b_{n+1}=4b_n $$

である。

(3)

(2)より、数列 ${b_n}$ は公比 $4$ の等比数列である。

また、

$$ b_1=a_1-2^1=0-2=-2 $$

であるから、

$$ b_n=b_1\cdot 4^{n-1}=-2\cdot 4^{n-1} $$

となる。

ここで $b_n=a_n-2^n$ だから、

$$ a_n=b_n+2^n $$

である。したがって、

$$ a_n=-2\cdot 4^{n-1}+2^n $$

すなわち、

$$ a_n=2^n-2\cdot 4^{n-1} $$

である。

$4^{n-1}=2^{2n-2}$ を用いれば、

$$ a_n=2^n-2^{2n-1} $$

とも表せる。

解説

この漸化式は、

$$ a_{n+1}=4a_n-2^{n+1} $$

という非同次線形漸化式である。非同次項が $2^n$ 型であるため、$a_n$ から $2^n$ を引いた $b_n=a_n-2^n$ を考えると、非同次項が消えて

$$ b_{n+1}=4b_n $$

という等比数列になる。

重要なのは、$b_{n+1}=a_{n+1}-2^{n+1}$ として、添字が $n+1$ に変わる点である。$b_n=a_n-2^n$ の形だけを見て機械的に処理すると、$2^{n+1}$ と $2^n$ の扱いを誤りやすい。

答え

(1)

$$ a_2=-4,\qquad a_6=-1984 $$

(2)

$$ b_{n+1}=4b_n $$

(3)

$$ a_n=2^n-2\cdot 4^{n-1} $$

または

$$ a_n=2^n-2^{2n-1} $$