数学B 2項間漸化式 問題 21 解説

方針・初手

与えられた式は部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ を含む式である。まず $n=1$ を代入して初項を求める。

漸化式は、$n$ の式と $n+1$ の式を並べて差を取ることで、部分和を消去して導く。

一般項は、得られた一次の非同次漸化式を解く。

解法1

$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とおくと、条件は

$$ 2S_n=3^n-a_n-6 $$

である。

初項

$n=1$ を代入すると、$S_1=a_1$ であるから

$$ 2a_1=3-a_1-6 $$

となる。よって

$$ 3a_1=-3 $$

より

$$ a_1=-1 $$

である。

漸化式の証明

条件式を $n$ と $n+1$ について書くと、

$$ 2S_n=3^n-a_n-6 $$

$$ 2S_{n+1}=3^{n+1}-a_{n+1}-6 $$

である。

ここで $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ であるから、下の式から上の式を引くと

$$ 2a_{n+1}=3^{n+1}-3^n-a_{n+1}+a_n $$

となる。右辺の $3^{n+1}-3^n$ は

$$ 3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n $$

であるから、

$$ 2a_{n+1}=2\cdot 3^n-a_{n+1}+a_n $$

すなわち

$$ 3a_{n+1}=a_n+2\cdot 3^n $$

である。両辺を $3$ で割って

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+2\cdot 3^{n-1} $$

を得る。したがって、$n\geqq 1$ に対してこの漸化式が成り立つ。

一般項

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+2\cdot 3^{n-1} $$

を解く。

右辺に $3^{n-1}$ が現れるので、$a_n$ の特解として $a_n=A3^n$ の形を考える。これを漸化式に代入すると

$$ A3^{n+1}=\frac{1}{3}A3^n+2\cdot 3^{n-1} $$

となる。両辺を $3^{n-1}$ で割ると

$$ 9A=A+2 $$

であるから、

$$ A=\frac{1}{4} $$

である。

したがって、特解は

$$ a_n=\frac{1}{4}3^n $$

である。

一方、対応する同次漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n $$

の一般項は

$$ C\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

である。よって、もとの漸化式の一般解は

$$ a_n=\frac{1}{4}3^n+C\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

と表せる。

初項 $a_1=-1$ を代入すると

$$ -1=\frac{1}{4}\cdot 3+C $$

より

$$ C=-\frac{7}{4} $$

である。

したがって

$$ a_n=\frac{1}{4}3^n-\frac{7}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

である。

すなわち

$$ a_n=\frac{3^n}{4}-\frac{7}{4\cdot 3^{n-1}} $$

である。

解説

部分和を含む漸化式では、$n$ の式と $n+1$ の式を作って差を取るのが基本である。これにより $S_n$ が消え、$a_n$ と $a_{n+1}$ の関係式が得られる。

一般項を求める段階では、非同次項 $2\cdot 3^{n-1}$ に合わせて $A3^n$ 型の特解を考えると処理しやすい。同次解と特解を足し合わせ、最後に初項で定数を決めればよい。

答え

(1)

$$ a_1=-1 $$

(2)

$$ a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+2\cdot 3^{n-1}\qquad(n\geqq 1) $$

が成り立つ。

(3)

$$ a_n=\frac{3^n}{4}-\frac{7}{4\cdot 3^{n-1}} $$