数学B 2項間漸化式 問題 32 解説

方針・初手

分数漸化式で $a_n$ が分母にも現れるので、そのまま扱うより逆数をとるのが自然である。

$a_n\neq 0$ として $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと、漸化式が一次的に変形できる。

解法1

$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおく。

与えられた漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{4a_n-1} $$

の両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{4a_n-1}{a_n} $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=4-\frac{1}{a_n} $$

となる。

ここで $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおいたので、

$$ b_{n+1}=4-b_n $$

を得る。また、

$$ b_1=\frac{1}{a_1}=5 $$

である。

よって順に計算すると、

$$ b_2=4-5=-1 $$

$$ b_3=4-(-1)=5 $$

となる。したがって、$b_n$ は

$$ 5,\ -1,\ 5,\ -1,\ \cdots $$

と交互に現れる。

つまり、奇数番目では $b_n=5$、偶数番目では $b_n=-1$ である。

$10$ は偶数なので、

$$ b_{10}=-1 $$

である。したがって、

$$ a_{10}=\frac{1}{b_{10}}=-1 $$

となる。

解説

この問題の要点は、漸化式をそのまま追いかけず、逆数をとって簡単な形に直すことである。

特に

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{4a_n-1} $$

のように、$a_n$ が分子にも分母にも含まれる形では、逆数をとると

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=4-\frac{1}{a_n} $$

となり、規則が見えやすくなる。

今回は逆数列 $b_n$ が $5$ と $-1$ を交互に繰り返すだけなので、一般項を本格的に求めなくても $a_{10}$ を求められる。

答え

$$ a_{10}=-1 $$