数学B 2項間漸化式 問題 34 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=2a_n+2^{n+2} $$

では、右辺の非同次項が $2^n$ の形をしている。そこで $a_n$ を $2^n$ で割り、

$$ b_n=\frac{a_n}{2^n} $$

とおくと、等差数列に帰着できる。

解法1

$b_n=\dfrac{a_n}{2^n}$ とおく。このとき

$$ a_n=2^n b_n $$

であるから、漸化式に代入すると

$$ 2^{n+1}b_{n+1}=2\cdot 2^n b_n+2^{n+2} $$

となる。両辺を $2^{n+1}$ で割ると

$$ b_{n+1}=b_n+2 $$

である。

また、

$$ b_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{6}{2}=3 $$

だから、${b_n}$ は初項 $3$、公差 $2$ の等差数列である。したがって

$$ b_n=3+2(n-1)=2n+1 $$

となる。

よって

$$ a_n=2^n b_n=(2n+1)2^n $$

である。

次に

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k $$

とおくと、

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}(2k+1)2^k $$

である。これを

$$ S_n=2\sum_{k=1}^{n}k2^k+\sum_{k=1}^{n}2^k $$

と分けて計算する。

まず、

$$ \sum_{k=1}^{n}2^k=2^{n+1}-2 $$

である。

また、

$$ T_n=\sum_{k=1}^{n}k2^k $$

とおくと、

$$ T_n=2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n2^n $$

であり、両辺を $2$ 倍して

$$ 2T_n=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\cdots+n2^{n+1} $$

となる。これらを引くと

$$ \begin{aligned} 2T_n-T_n &=-2-2^2-2^3-\cdots-2^n+n2^{n+1}\\ &=n2^{n+1}-(2^{n+1}-2) \end{aligned} $$

より、

$$ T_n=(n-1)2^{n+1}+2 $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S_n &=2{(n-1)2^{n+1}+2}+(2^{n+1}-2)\\ &=(2n-2)2^{n+1}+4+2^{n+1}-2\\ &=(2n-1)2^{n+1}+2 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の中心は、漸化式の非同次項 $2^{n+2}$ が、同次部分 $a_{n+1}=2a_n$ の解である $2^n$ と同じ型をもつ点である。

そのため、$a_n$ を $2^n$ で割ると、増加分が一定の数列になる。非同次項が等比数列型のときは、まず「同次部分の倍率」で割る方針が有効である。

和の計算では、$\sum k2^k$ が出てくる。この形は、そのまま公式として使ってもよいが、$T_n$ と $2T_n$ を引く処理で導くと計算の根拠が明確になる。

答え

(1)

$$ a_n=(2n+1)2^n $$

(2)

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k=(2n-1)2^{n+1}+2 $$