数学B 2項間漸化式 問題 39 解説

方針・初手

$S_n$ を含む条件式から、まず $n=1$ を代入して $a_1$ を求める。

次に、$n+1$ の式と $n$ の式を引くことで $S_n$ を消去し、$a_{n+1}$ と $a_n$ の漸化式を作る。その後、$b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$ とおいて一次漸化式に直す。

解法1

$n=1$ を条件式

$$ 3S_n=a_n+7\cdot 3^n-6 $$

に代入する。$S_1=a_1$ より、

$$ 3a_1=a_1+7\cdot 3-6 $$

である。したがって、

$$ 3a_1=a_1+15 $$

より、

$$ 2a_1=15 $$

となるから、

$$ a_1=\frac{15}{2} $$

である。

次に、条件式を $n+1$ について書くと、

$$ 3S_{n+1}=a_{n+1}+7\cdot 3^{n+1}-6 $$

である。また、

$$ 3S_n=a_n+7\cdot 3^n-6 $$

であるから、これらを引くと、

$$ 3(S_{n+1}-S_n)=a_{n+1}-a_n+7\cdot 3^{n+1}-7\cdot 3^n $$

となる。

ここで $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ なので、

$$ 3a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+7(3^{n+1}-3^n) $$

である。さらに、

$$ 3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n $$

だから、

$$ 3a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+14\cdot 3^n $$

となる。整理して、

$$ 2a_{n+1}=-a_n+14\cdot 3^n $$

よって、

$$ a_{n+1}=-\frac{1}{2}a_n+7\cdot 3^n $$

である。

ここで、

$$ b_n=\frac{a_n}{3^n} $$

とおく。漸化式の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} &= -\frac{1}{2}\cdot \frac{a_n}{3^{n+1}} + 7\cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &= -\frac{1}{6}b_n+\frac{7}{3} \end{aligned} $$

となる。

この一次漸化式の定数解を $b_n=\alpha$ とすると、

$$ \alpha=-\frac{1}{6}\alpha+\frac{7}{3} $$

である。したがって、

$$ \frac{7}{6}\alpha=\frac{7}{3} $$

より、

$$ \alpha=2 $$

である。

よって、

$$ b_{n+1}-2=-\frac{1}{6}(b_n-2) $$

となる。

また、

$$ b_1=\frac{a_1}{3}=\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{2} $$

であるから、

$$ b_1-2=\frac{1}{2} $$

である。したがって、

$$ b_n-2=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} $$

となるので、

$$ b_n=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}+2 $$

である。

ゆえに、

$$ a_n=3^n b_n $$

より、

$$ \begin{aligned} a_n &= 3^n\left\{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}+2\right\} \end{aligned} $$

である。整理すると、

$$ \begin{aligned} a_n &= 2\cdot 3^n+\frac{3(-1)^{n-1}}{2^n} \end{aligned} $$

となる。

解説

$S_n$ を含む漸化式では、$n+1$ の式と $n$ の式を引いて $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を使うのが基本である。

この問題では、得られる漸化式が

$$ a_{n+1}=-\frac{1}{2}a_n+7\cdot 3^n $$

となり、右辺に $3^n$ が残る。そこで $b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと、$3^n$ の影響が消えて

$$ b_{n+1}=-\frac{1}{6}b_n+\frac{7}{3} $$

という定数項つき一次漸化式になる。

定数項つき一次漸化式は、定数解を引いて等比数列に直すのが典型処理である。

答え

$$ [①]=\frac{15}{2} $$

$$ [②]=-\frac{1}{2},\qquad [③]=7 $$

$$ [④]=\frac{1}{2},\qquad [⑤]=-\frac{1}{6},\qquad [⑥]=2 $$

また、一般項は

$$ \begin{aligned} a_n &= 3^n\left\{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}+2\right\} \end{aligned} $$

すなわち、

$$ \begin{aligned} a_n &= 2\cdot 3^n+\frac{3(-1)^{n-1}}{2^n} \end{aligned} $$

である。