数学B 2項間漸化式 問題 50 解説

方針・初手

$a_{n+1}$ が一次分数型で与えられており、さらに $b_n=\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$ と定義されているので、まず $b_{n+1}$ を $a_n$ で表し、そこに漸化式を代入する。

この形は、$a_n$ の漸化式を $b_n$ の等比数列に変換するための置換である。

解法1

$b_{n+1}$ の定義より、

$$ b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1} $$

である。ここに

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2a_n+1} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\frac{\dfrac{a_n+2}{2a_n+1}-1}{\dfrac{a_n+2}{2a_n+1}+1} \\ &=\frac{a_n+2-(2a_n+1)}{a_n+2+(2a_n+1)} \\ &=\frac{1-a_n}{3a_n+3} \\ &=-\frac{a_n-1}{3(a_n+1)} \\ &=-\frac{1}{3}\cdot \frac{a_n-1}{a_n+1}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ b_{n+1}=-\frac{1}{3}b_n $$

である。

また、

$$ b_1=\frac{a_1-1}{a_1+1}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3} $$

であるから、数列 ${b_n}$ は初項 $\dfrac{1}{3}$、公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列である。

よって、

$$ b_n=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

となる。これを整理すると、

$$ b_n=\frac{(-1)^{n-1}}{3^n} $$

である。

次に、$a_n$ を求める。定義

$$ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1} $$

を $a_n$ について解く。

$$ \begin{aligned} b_n(a_n+1)&=a_n-1 \\ b_na_n+b_n&=a_n-1 \\ a_n(b_n-1)&=-(1+b_n) \end{aligned} $$

より、

$$ a_n=\frac{1+b_n}{1-b_n} $$

である。

ここに

$$ b_n=\frac{(-1)^{n-1}}{3^n} $$

を代入すると、

$$ a_n =\frac{1+\dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n}}{1-\dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n}} $$

である。分母・分子に $3^n$ をかけて、

$$ a_n=\frac{3^n+(-1)^{n-1}}{3^n-(-1)^{n-1}} $$

を得る。

解説

この問題の中心は、$a_n$ の漸化式をそのまま処理しようとせず、与えられた $b_n=\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$ を使って単純な漸化式に変形することである。

一次分数型の漸化式では、適切な変数変換によって等比数列に帰着できることが多い。この問題では、$b_{n+1}$ を計算すると $a_n$ がきれいに消え、

$$ b_{n+1}=-\frac{1}{3}b_n $$

となる。

あとは等比数列の一般項を求め、最後に

$$ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1} $$

を $a_n$ について解けばよい。

答え

(1)

$$ b_{n+1}=-\frac{1}{3}b_n $$

(2)

$$ b_n=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} =\frac{(-1)^{n-1}}{3^n} $$

(3)

$$ a_n=\frac{3^n+(-1)^{n-1}}{3^n-(-1)^{n-1}} $$