京都大学 1968年 理系 第2問 解説

方針・初手

3辺の長さを $a, b, c$ とし、$a \le b \le c$ と仮定する。三角形が成立するための条件は、もっとも長い辺が他の2辺の和よりも短いこと、すなわち $c < a + b$ である。

本問では各辺の長さが $20, 22, \dots, 36$ の偶数である。計算を簡略化するため、すべての辺の長さを $2$ で割り、各辺の候補を $10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18$ の 9 種類として考える。このとき、三角形の成立条件は変わらず $c < a + b$ である。

重複を許して 9 種類から 3 つを選ぶ組み合わせの総数から、三角形が成立しない（$c \ge a + b$）場合を除外する方針で進める。

解法1

選ぶことができる辺の長さの集合を $S = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}$ とする。要素数は $n = 9$ である。

3辺の長さを $a, b, c \in S$ とし、$a \le b \le c$ とする。

1. 全ての組み合わせの数

9 種類のものから重複を許して 3 つ選ぶ組み合わせの総数は、

$$ {}_9 H_3 = {}_{9+3-1} C_3 = {}_{11} C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 $$

である。

2. 三角形が成立しない場合の数

$c \ge a + b$ となる組み合わせを、最大辺 $c$ の値ごとに数え上げる。$a, b \ge 10$ より $a + b \ge 20$ であることに注意する。

$c \in S$ の最大値は $18$ であるため、$a + b \le c$ を満たすためには $a + b \le 18$ でなければならない。しかし、集合 $S$ の最小値は $10$ であるから、もっとも小さい 2 辺の和であっても

$$ a + b \ge 10 + 10 = 20 $$

となる。

したがって、$a + b \ge 20$ かつ $c \le 18$ より、いかなる $a, b, c \in S$ の組み合わせにおいても

$$ a + b > c $$

が常に成り立つ。

3. 結論

すべての組み合わせにおいて三角形が成立するため、求める種類数は全組み合わせ数に等しい。

$$ 165 \text{ 種類} $$

解説

本問では最小の2辺の和が最大辺より常に大きいことに着目すると、三角形の成立条件が自動的に満たされる。

一般に、$n$ 種類の長さから重複を許して 3 本選ぶとき、三角形ができる条件は選んだ数値の範囲に依存する。本問では最小の 2 辺の和 $20 + 20 = 40$ が最大の辺 $36$ よりも大きいため、どのような組み合わせを選んでも必ず三角形が構成できる。

したがって、純粋に重複組み合わせ ${}_n H_3$ を計算する問題に帰着される。もし辺の長さに $2$ や $4$ などの小さい値が含まれていれば、$c \ge a + b$ となるケースを丁寧に書き出す必要がある。

答え

165 種類