数学A 場合の数 問題 2 解説

方針・初手

(1) は同じ文字 $K,A$ がそれぞれ $2$ 個ずつある重複順列として数える。母音が隣り合わない条件は、子音を先に並べ、その間と両端のすき間に母音を入れる方針が有効である。

(2) は円順列では回転を同一視し、じゅずではさらに裏返しも同一視する。じゅずの数え上げでは、円順列をまず数えてから、左右対称な配置だけに注意する。

解法1

(1)

$KOKAIDA$ は $7$ 文字からなり、$K$ が $2$ 個、$A$ が $2$ 個ある。したがって、作られる順列の総数は

$$ \frac{7!}{2!2!}=1260 $$

である。よって

$$ \boxed{[ア]=1260} $$

である。

次に、母音文字が隣り合わない順列を数える。母音は $O,A,I,A$ の $4$ 個、子音は $K,K,D$ の $3$ 個である。

まず子音 $K,K,D$ を横一列に並べる方法は

$$ \frac{3!}{2!}=3 $$

通りである。

この $3$ 個の子音のまわりには、次のように $4$ か所のすき間がある。

$$ _ \ C \ _ \ C \ _ \ C \ _ $$

母音が隣り合わないためには、$4$ 個の母音をこの $4$ か所のすき間にちょうど $1$ 個ずつ入れる必要がある。

母音 $O,A,I,A$ を並べる方法は

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通りである。

よって、母音文字が隣り合わない順列は

$$ 3 \cdot 12=36 $$

通りである。したがって

$$ \boxed{[イ]=36} $$

である。

最後に、文字 $O,D$ がこの順に現れる順列を数える。

すべての順列において、$O,D$ はどちらも $1$ 個ずつである。任意の順列について、$O$ と $D$ の位置を入れ替えると、$O$ が $D$ より前にある順列と、$D$ が $O$ より前にある順列が一対一に対応する。

したがって、$O,D$ がこの順に現れる順列は全体の半分であるから

$$ \frac{1260}{2}=630 $$

である。よって

$$ \boxed{[ウ]=630} $$

である。

(2)

白球 $4$ 個、赤球 $2$ 個、黒球 $1$ 個を一列に並べる方法は

$$ \frac{7!}{4!2!1!}=105 $$

通りである。

まず円形に並べる方法を数える。$7$ 個を円形に並べる場合、回転して一致するものを同一とみなす。

ここで、$7$ は素数であり、白 $4$ 個、赤 $2$ 個、黒 $1$ 個という個数なので、同じ配置が $7$ 回転未満で元に戻ることはない。したがって、各円形配置は一列の配置 $7$ 通りに対応する。

よって、円形に並べる方法は

$$ \frac{105}{7}=15 $$

通りである。したがって

$$ \boxed{[エ]=15} $$

である。

次に、じゅずを作る方法を数える。じゅずでは回転だけでなく、裏返して一致するものも同一とみなす。

円形配置 $15$ 通りのうち、裏返しても同じになる配置、すなわち線対称な配置を数える。

$7$ 個の球のじゅずが線対称になるとき、対称軸上にある球が $1$ 個あり、残り $6$ 個は $3$ 組の対になる。対になる球は同じ色でなければならない。

白球は $4$ 個、赤球は $2$ 個、黒球は $1$ 個であるから、個数が奇数である黒球が対称軸上に来る必要がある。残りは、白球 $4$ 個で $2$ 組、赤球 $2$ 個で $1$ 組を作る。

黒球を対称軸上に固定すると、残りの $3$ 組の位置のうち、赤の組をどこに置くかで配置が決まる。したがって線対称な円形配置は

$$ 3 $$

通りである。

円形配置 $15$ 通りのうち、線対称な $3$ 通りは裏返しても同じ配置である。一方、線対称でない $12$ 通りは、裏返しによって $2$ 通りずつが同一のじゅずになる。

したがって、じゅずを作る方法は

$$ 3+\frac{12}{2}=9 $$

通りである。よって

$$ \boxed{[オ]=9} $$

である。

解説

重複を含む順列では、まず同じ文字・同じ色の個数を確認することが重要である。

(1) の母音が隣り合わない条件では、母音を直接並べるのではなく、子音を先に配置して「すき間」を考えるのが典型的である。子音が $3$ 個なので、母音を置けるすき間は最大 $4$ か所であり、母音も $4$ 個あるため、すべてのすき間に $1$ 個ずつ入る形に限られる。

(2) の円順列では、まず一列の並べ方を数えて $7$ で割る。ただし、じゅずでは裏返しも同一視するため、単純にさらに $2$ で割ることはできない。線対称な配置は裏返しても変わらないため、そこだけを別に扱う必要がある。

答え

(1)

$$ [ア]=1260,\qquad [イ]=36,\qquad [ウ]=630 $$

(2)

$$ [エ]=15,\qquad [オ]=9 $$