東京大学 2002年 文系 第4問 解説

方針・初手

両端の点の色が異なる弧の数は、円周上に並んだ点を順にたどって一周する際に、点の色が変化する回数に等しいことに着目する。

解法1

円周上に並んだ $m+n$ 個の点について、ある出発点を決め、そこから時計回りに隣り合う点を順にたどり、一周して元の点に戻る過程を考える。

隣り合う2点間（すなわち1つの弧の両端）で点の色が異なる場合、その変化は「赤い点から青い点への変化」または「青い点から赤い点への変化」のいずれかである。

一周して元の出発点に戻ったとき、出発したときの色と到着したときの色（同じ点の状態）は当然一致している。

したがって、一周する間に起こった「赤い点から青い点への変化」の回数と、「青い点から赤い点への変化」の回数は等しくなければならない。

この変化の回数をそれぞれ $k$ （$k$ は0以上の整数）とおく。

両端の点の色が異なる弧の数は、これら2種類の変化の回数の総和であるから、

$$ k + k = 2k $$

と表せる。

$k$ は整数であるため $2k$ は偶数となり、両端の点の色が異なる弧の数は偶数であることが証明された。

解法2

円周上で連続して並ぶ同色の点の集まりを「連」と呼ぶことにする。

$m \geqq 1, n \geqq 1$ であるから、円周上には赤い点の連と青い点の連がそれぞれ少なくとも1つ存在する。

円周上を時計回りにたどると、点の色が変化する箇所で新しい連が始まるため、赤い点の連と青い点の連は必ず交互に現れる。

したがって、円周上にある赤い点の連の数と青い点の連の数は等しくなる。

この連の数を $k$ （$k$ は自然数）とすると、円周上の連の総数は赤い点の連と青い点の連の合計であるから、

$$ k + k = 2k $$

となる。

両端の点の色が異なる弧とは、異なる色の連の境界にあたる部分である。

円周上において、連の境界の数は連の総数と一致するため、該当する弧の数は $2k$ 個となる。

$2k$ は偶数であるため、両端の点の色が異なる弧の数は偶数であることが証明された。

解説

「両端の点の色が異なる弧の数」を「色が切り替わる回数」や「同色の点の連（ブロック）の数」として捉え直すことが最大のポイントである。

円環状に並んだ2つの状態（赤と青）が変化しながら一周する場合、最終的に元の状態に戻るためには、ある状態から別の状態への遷移回数と、その逆の遷移回数が一致しなければならない。

直感的には当たり前のように思える事実を、いかに論理的な言葉や文字を用いて過不足なく説明するかが問われる問題である。

答え

両端の点の色が異なる弧の数は偶数である。