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東京大学 2002年文系第3問解説

方針・初手

与えられた5つの条件式から、未知数となっている係数 $a, b, c, p, q, r$ の関係式を導く。未知数が6つに対して条件式が5つであるため、係数は1つの文字（媒介変数）を用いて表すことができる。すべての係数をこの文字で表したのち、目的の定積分を計算して平方完成を行い、最小値を与える条件を求める。

解法1

$f(x)$ と $g(x)$ の導関数は、それぞれ次のようになる。

$$ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $$

$$ g'(x) = 3px^2 + 2qx + r $$

与えられた5つの条件から、以下の関係式が成り立つ。

$f'(0) = g'(0)$ より、

$$ c = r $$

$f(-1) = -1$ より、

$$ -a + b - c = -1 \quad \cdots \text{①} $$

$f'(-1) = 0$ より、

$$ 3a - 2b + c = 0 \quad \cdots \text{②} $$

$g(1) = 3$ より、

$$ p + q + r = 3 \quad \cdots \text{③} $$

$g'(1) = 0$ より、

$$ 3p + 2q + r = 0 \quad \cdots \text{④} $$

$c = r$ を用いて、各係数を $c$ で表す。 ①と②の辺々を加えると、

$$ 2a - b = -1 $$

$$ b = 2a + 1 $$

これを①に代入して整理すると、

$$ -a + (2a + 1) - c = -1 $$

$$ a = c - 2 $$

したがって、$b$ は、

$$ b = 2(c - 2) + 1 = 2c - 3 $$

同様に、④から③を引くと、

$$ 2p + q = -3 $$

$$ q = -2p - 3 $$

これを③に代入し、$r=c$ を用いると、

$$ p + (-2p - 3) + c = 3 $$

$$ -p + c - 3 = 3 $$

$$ p = c - 6 $$

したがって、$q$ は、

$$ q = -2(c - 6) - 3 = -2c + 9 $$

次に、定積分の値を計算する。第2次導関数は以下のようになる。

$$ f''(x) = 6ax + 2b $$

$$ g''(x) = 6px + 2q $$

前半の定積分は、

$$ \int_{-1}^0 \{f''(x)\}^2 dx = \int_{-1}^0 (36a^2 x^2 + 24ab x + 4b^2) dx $$

$$ = \left[ 12a^2 x^3 + 12ab x^2 + 4b^2 x \right]_{-1}^0 $$

$$ = - ( -12a^2 + 12ab - 4b^2 ) $$

$$ = 12a^2 - 12ab + 4b^2 $$

$$ = 4(3a^2 - 3ab + b^2) $$

後半の定積分は、

$$ \int_0^1 \{g''(x)\}^2 dx = \int_0^1 (36p^2 x^2 + 24pq x + 4q^2) dx $$

$$ = \left[ 12p^2 x^3 + 12pq x^2 + 4q^2 x \right]_0^1 $$

$$ = 12p^2 + 12pq + 4q^2 $$

$$ = 4(3p^2 + 3pq + q^2) $$

ここで、$a, b$ を $c$ で表した式を代入する。

$$ 3a^2 - 3ab + b^2 = 3(c-2)^2 - 3(c-2)(2c-3) + (2c-3)^2 $$

$$ = 3(c^2 - 4c + 4) - 3(2c^2 - 7c + 6) + (4c^2 - 12c + 9) $$

$$ = (3 - 6 + 4)c^2 + (-12 + 21 - 12)c + (12 - 18 + 9) $$

$$ = c^2 - 3c + 3 $$

同様に、$p, q$ を $c$ で表した式を代入する。

$$ 3p^2 + 3pq + q^2 = 3(c-6)^2 + 3(c-6)(-2c+9) + (-2c+9)^2 $$

$$ = 3(c^2 - 12c + 36) + 3(-2c^2 + 21c - 54) + (4c^2 - 36c + 81) $$

$$ = (3 - 6 + 4)c^2 + (-36 + 63 - 36)c + (108 - 162 + 81) $$

$$ = c^2 - 9c + 27 $$

求める定積分の和を $I$ とすると、

$$ I = 4(c^2 - 3c + 3) + 4(c^2 - 9c + 27) $$

$$ = 4(2c^2 - 12c + 30) $$

$$ = 8(c^2 - 6c + 15) $$

$$ = 8(c - 3)^2 + 48 $$

したがって、$I$ は $c=3$ のとき最小値をとる。このとき、各係数は次のように定まる。

$$ a = 3 - 2 = 1 $$

$$ b = 2 \cdot 3 - 3 = 3 $$

$$ c = 3 $$

$$ p = 3 - 6 = -3 $$

$$ q = -2 \cdot 3 + 9 = 3 $$

$$ r = 3 $$

解説

条件の数と未知数の数を比較し、1変数が残ることに気づくことが第一歩である。どの文字を残すかは自由だが、 $f'(0)=g'(0)$ から $c=r$ がすぐに分かるため、$c$ （または $r$）をパラメータとして残すのが計算の見通しが良い。積分計算では係数を含んだまま展開するため計算量が多くなりがちだが、同形出現を見越して $4(3a^2 - 3ab + b^2)$ のように整理してから代入することで計算ミスを防ぐことができる。