数学1 方程式の解の個数問題 4 解説

方針・初手

方程式 $|9-x^2|=x+k$ の実数解の個数は、関数 $y=|9-x^2|$ のグラフと直線 $y=x+k$ の共有点の個数に等しい。これをふまえて、グラフを描画し、$y$ 切片である $k$ の値を変化させながら共有点の個数がどのように変わるかを視覚的に捉える。

解法1

関数 $y=|9-x^2|$ の絶対値を外すと以下のようになる。

$$ y = \begin{cases} x^2-9 & (x \le -3, 3 \le x) \\ -x^2+9 & (-3 < x < 3) \end{cases} $$

このグラフは、下に凸の放物線 $y=x^2-9$ の $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返した形になる。一方で $y=x+k$ は、傾き $1$、$y$ 切片 $k$ の直線である。この直線を上下に平行移動させて、グラフとの共有点の個数を調べる。

(1) 解が1個になる条件

直線を下から上に移動させていくと、最初にグラフと共有点をもつのは、直線が点 $(3, 0)$ を通るときである。このとき、グラフから共有点は1個であることがわかる。

$$ 0 = 3 + k $$

これを解いて $k=-3$ となる。したがって、$k=-3$ のとき解を1個もち、その解は $x=3$ である。

(2) 解が3個になる条件

さらに直線を上へ移動させていくと、解が3個（共有点が3個）になるのは次の2つの場合である。

(i) 直線が点 $(-3, 0)$ を通るとき

$$ 0 = -3 + k $$

これを解いて $k=3$ となる。

(ii) 直線が上に凸の放物線 $y=-x^2+9$ ($-3 < x < 3$) と接するとき

$$ -x^2+9 = x+k $$

整理すると以下の2次方程式になる。

$$ x^2+x+k-9 = 0 $$

この方程式が重解をもてばよいので、判別式を $D$ とすると $D=0$ となる。

$$ D = 1^2 - 4(1)(k-9) = 37 - 4k = 0 $$

これを解いて $k=\frac{37}{4}$ となる。このときの接点の $x$ 座標は $x=-\frac{1}{2}$ であり、区間 $-3 < x < 3$ に含まれるため適する。

以上より、$k=3$ または $k=\frac{37}{4}$ のときに3個の解をもつ。 $3 < \frac{37}{4}$ であるから、ウは $3$、エは $\frac{37}{4}$ となる。

(3) $k=3$ のときの解

$k=3$ のとき、方程式は $|9-x^2|=x+3$ である。それぞれの定義域について方程式を解く。

$x \le -3, 3 \le x$ のとき、以下の方程式を解く。

$$ x^2-9 = x+3 $$

$$ x^2-x-12 = 0 $$

$$ (x+3)(x-4) = 0 $$

範囲を満たすのは $x=-3, 4$ である。

$-3 < x < 3$ のとき、以下の方程式を解く。

$$ -x^2+9 = x+3 $$

$$ x^2+x-6 = 0 $$

$$ (x+3)(x-2) = 0 $$

範囲を満たすのは $x=2$ である。

したがって、これら3個の解を小さい順に並べると $x=-3, 2, 4$ となる。

解説

絶対値を含む方程式の実数解の個数を問う典型問題である。代数的に式変形のみで処理しようとすると、場合分けが煩雑になり条件を見落としやすい。そのため「方程式の実数解の個数＝2つのグラフの共有点の個数」と読み替えて、図形的・視覚的にアプローチするのが定石である。接する条件や、定義域の境界点を通る条件を丁寧に計算することが求められる。