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東京大学 2020年理系第1問解説

方針・初手

条件「3つの不等式をすべて満たす実数 $x$ の集合が $x > p$ と一致する」とは、十分大きい $x$ に対しては常に3つの不等式が成り立ち、逆に $x \le p$ の範囲には不等式を満たさない $x$ が存在することを意味する。この性質から、$x \to \infty$ や $x \to -\infty$ としたときの極限を考えることで、各係数の符号や条件を決定できる。 (3) は、(1)と(2)の結果を踏まえ、条件の対称性を利用して変数を減らし、実際に不等式を解くことで $p$ の値を特定する。

解法1

(1)

3つの不等式を順に (A), (B), (C) とする。

$$ ax^2 + bx + c > 0 \quad \cdots \text{(A)} $$

$$ bx^2 + cx + a > 0 \quad \cdots \text{(B)} $$

$$ cx^2 + ax + b > 0 \quad \cdots \text{(C)} $$

条件より、$x > p$ を満たす任意の実数 $x$ に対して不等式 (A) が成り立つ。 $x > p$ かつ $x > 0$ を満たす十分大きい $x$ をとり、(A) の両辺を $x^2$ で割ると、次式が得られる。

$$ a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2} > 0 $$

ここで $x \to \infty$ とすると、$\frac{b}{x} \to 0$、$\frac{c}{x^2} \to 0$ となるため、極限の性質から以下が成り立つ。

$$ a \ge 0 $$

同様に、不等式 (B), (C) についても $x^2$ で割って $x \to \infty$ の極限をとることで、それぞれ $b \ge 0$、$c \ge 0$ が得られる。したがって、$a, b, c$ はすべて $0$ 以上である。

(2)

背理法で示す。 (1) より $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ であるため、$a, b, c$ のうち少なくとも1個が $0$ でない、すなわちすべて正であると仮定する。つまり、$a > 0$ かつ $b > 0$ かつ $c > 0$ と仮定する。

このとき、$x \to -\infty$ とした極限を考えると、それぞれの $x^2$ の係数が正であるため、以下が成り立つ。

$$ \lim_{x \to -\infty} (ax^2 + bx + c) = \infty $$

$$ \lim_{x \to -\infty} (bx^2 + cx + a) = \infty $$

$$ \lim_{x \to -\infty} (cx^2 + ax + b) = \infty $$

したがって、ある実数 $M$ が存在して、$x < M$ を満たす任意の $x$ に対して (A), (B), (C) がすべて成り立つことになる。しかし、これは「不等式をすべて満たす $x$ の集合が $x > p$ である」こと（つまり解が下に有界であること）に矛盾する。ゆえに、仮定は誤りであり、$a, b, c$ のうち少なくとも1個は $0$ である。

(3)

不等式 (A), (B), (C) は $a, b, c$ について巡回対称である。解の集合 $x > p$ という条件は、不等式の組全体としての性質であり、$a, b, c$ を巡回的に入れ替えても条件式全体は変わらない。したがって、一般性を失うことなく $a = 0$ とすることができる。

$a = 0$ のとき、(1) より $b \ge 0, c \ge 0$ である。不等式は以下のようになる。

$$ bx + c > 0 \quad \cdots \text{(A')} $$

$$ bx^2 + cx > 0 \quad \cdots \text{(B')} $$

$$ cx^2 + b > 0 \quad \cdots \text{(C')} $$

もし $b = 0$ かつ $c = 0$ とすると、(A') は $0 > 0$ となり解を持たないため、$x > p$ と一致することに矛盾する。よって $b, c$ がともに $0$ になることはない。

(i)

$b = 0$ のとき $c > 0$ である。不等式はそれぞれ以下のようになる。

(A') $c > 0$ （すべての実数 $x$ で成立） (B') $cx > 0 \implies x > 0$ (C') $cx^2 > 0 \implies x \neq 0$

これらをすべて満たす $x$ の範囲は $x > 0$ である。

(ii)

$c = 0$ のとき $b > 0$ である。不等式はそれぞれ以下のようになる。

(A') $bx > 0 \implies x > 0$ (B') $bx^2 > 0 \implies x \neq 0$ (C') $b > 0$ （すべての実数 $x$ で成立）

これらをすべて満たす $x$ の範囲は $x > 0$ である。

(iii)

$b > 0$ かつ $c > 0$ のとき (B') は $x(bx + c) > 0$ と変形できる。 (A') より $bx + c > 0$ でなければならないため、(B') が成り立つためには $x > 0$ が必要十分である。すなわち、(A') と (B') を同時に満たす $x$ の範囲は $x > 0$ である。一方、(C') については $c > 0, b > 0$ より $cx^2 + b > 0$ はすべての実数 $x$ で成立する。

よって、これらをすべて満たす $x$ の範囲は $x > 0$ である。

（i）, （ii）, （iii）のいずれの場合も、不等式をすべて満たす $x$ の集合は $x > 0$ となる。条件より、この集合は $x > p$ と一致するため、$p = 0$ である。

解説

不等式の解集合が $x>p$ という形で与えられているので、$x \to \infty$ と $x \to -\infty$ の極限を調べると係数の条件を整理しやすい。(1)では $x^2$ で割って極限をとり、(2)ではすべての係数が正だとすると負の大きい範囲で3つの不等式が同時に成り立ってしまうことから矛盾が出る。(3)では巡回対称性を用いて1つの係数を $0$ とおき、残りを場合分けして解集合を確かめればよい。