数学1 方程式の解の個数問題 6 解説

方針・初手

絶対値を含む方程式であるため、まずは右辺 $a+1$ の符号によって場合分けを行う。絶対値が負になることはないため、右辺が負の場合はただちに実数解をもたないことがわかる。右辺が正の場合は絶対値を外し、得られる2つの2次方程式の実数解の個数の和が2個になる条件を考える。その際、2つの方程式が共通解をもつ可能性に注意して処理を進める。

解法1

方程式 $|x^2+ax+2a| = a+1$ が実数解をもつためには、左辺が $0$ 以上であることから、右辺 $a+1 \geqq 0$ であることが必要である。右辺の符号によって場合分けをする。

(i) $a+1 < 0$ すなわち $a < -1$ のとき

$$ |x^2+ax+2a| \geqq 0 $$

に対して右辺が負となるため、実数解をもたない。よって不適である。

(ii) $a+1 = 0$ すなわち $a = -1$ のとき

与えられた方程式は以下のようになる。

$$ |x^2-x-2| = 0 $$

これを解くと、

$$ x^2-x-2 = 0 $$

$$ (x-2)(x+1) = 0 $$

$$ x = 2, -1 $$

異なる実数解をちょうど2個もつため、$a = -1$ は条件を満たす。

(iii) $a+1 > 0$ すなわち $a > -1$ のとき

与えられた方程式は、次の2つの方程式に分けられる。

$$ x^2+ax+2a = a+1 \cdots ① $$

$$ x^2+ax+2a = -(a+1) \cdots ② $$

①を整理して因数分解すると、

$$ x^2+ax+a-1 = 0 $$

$$ (x+1)(x+a-1) = 0 $$

よって、①の解は $x = -1, 1-a$ である。

②を整理すると、

$$ x^2+ax+3a+1 = 0 $$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ D = a^2 - 4(3a+1) = a^2 - 12a - 4 $$

ここで、①と②が共通解をもつかどうかを確認する。 ①の解 $x = -1$ が②の解であるとすると、

$$ (-1)^2 + a(-1) + 3a + 1 = 0 $$

$$ 2a + 2 = 0 $$

$$ a = -1 $$

これは $a > -1$ に矛盾する。また、①の解 $x = 1-a$ が②の解であるとすると、

$$ (1-a)^2 + a(1-a) + 3a + 1 = 0 $$

$$ 1 - 2a + a^2 + a - a^2 + 3a + 1 = 0 $$

$$ 2a + 2 = 0 $$

$$ a = -1 $$

これも $a > -1$ に矛盾する。したがって、$a > -1$ のもとでは①と②は共通解をもたない。

よって、与えられた方程式が異なる実数解をちょうど2個もつのは、以下のいずれかの場合である。

(ア) ①が異なる2個の実数解をもち、②が実数解をもたない (イ) ①が実数解をもたず、②が異なる2個の実数解をもつ (ウ) ①が1個の実数解（重解）をもち、②が1個の実数解（重解）をもつ

①の解は $x = -1, 1-a$ であるため、つねに実数解をもつ。よって (イ) は起こり得ない。また、①が重解をもつのは $-1 = 1-a$ すなわち $a = 2$ のときであるが、このとき②の判別式は

$$ D = 2^2 - 12 \cdot 2 - 4 = -24 < 0 $$

となり、②は実数解をもたない。よって (ウ) も起こり得ない。

したがって、条件を満たすのは (ア) の場合のみである。 (ア) となる条件は、①が異なる2個の実数解をもち（$a \neq 2$）、かつ②が実数解をもたない（$D < 0$）ことである。

$$ D < 0 \iff a^2 - 12a - 4 < 0 $$

$a^2 - 12a - 4 = 0$ の解は $a = 6 \pm 2\sqrt{10}$ であるから、

$$ 6 - 2\sqrt{10} < a < 6 + 2\sqrt{10} $$

ここで、$a > -1$ の条件との共通範囲を確認する。 $6 - 2\sqrt{10}$ と $-1$ の大小関係を調べると、

$$ (6 - 2\sqrt{10}) - (-1) = 7 - 2\sqrt{10} = \sqrt{49} - \sqrt{40} > 0 $$

となるため、$6 - 2\sqrt{10} > -1$ である。よって、$D < 0$ を満たす範囲はすべて $a > -1$ に含まれる。 $a \neq 2$ の条件とあわせると、(iii) の場合で条件を満たす $a$ の範囲は、

$$ 6 - 2\sqrt{10} < a < 2, \quad 2 < a < 6 + 2\sqrt{10} $$

以上より、(i), (ii), (iii) をまとめて、求める $a$ の値の範囲を得る。

解説

絶対値方程式 $|X| = Y$ は、$Y \geqq 0$ の条件に注意して $X = \pm Y$ と外すのが定石である。今回は右辺が文字式 $a+1$ であるため、$a+1$ の符号による場合分けが必要となる。また、絶対値を外して得られる2つの2次方程式について、実数解の個数を考える際、「共通解をもつ可能性」を確認する手順を忘れないようにしたい。①の式が $(x+1)(x+a-1)=0$ と因数分解できることに気付くと、判別式を2つ計算する手間が省け、解の個数の考察がスムーズに進む。