数学1 方程式の解の個数問題 8 解説

方針・初手

与えられた関数 $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=x+a$ の共有点の個数を調べる問題である。共有点の個数は、方程式 $f(x)=x+a$ の実数解の個数に等しい。定数 $a$ を分離して $a = f(x)-x$ と変形し、固定されたグラフ $y = f(x)-x$ と水平な直線 $y=a$ の共有点の個数として視覚的に捉える手法（定数分離）が確実である。また、そのまま $y=f(x)$ のグラフをかき、傾き $1$ の直線 $y=x+a$ を上下に平行移動させて共有点の個数を調べる手法も有効である。

解法1

方程式 $|x-1|(x-2) = x+a$ の実数解の個数を調べる。定数 $a$ について方程式を整理すると、次のようになる。

$$ a = |x-1|(x-2) - x $$

ここで、関数 $g(x) = |x-1|(x-2) - x$ とおき、$y=g(x)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点の個数を調べる。絶対値を外すために、$x \geqq 1$ と $x < 1$ の場合で分けて $g(x)$ を計算する。

(i) $x \geqq 1$ のとき

$$ \begin{aligned} g(x) &= (x-1)(x-2) - x \\ &= x^2 - 3x + 2 - x \\ &= x^2 - 4x + 2 \\ &= (x-2)^2 - 2 \end{aligned} $$

この区間において、グラフは下に凸の放物線であり、頂点は $(2, -2)$ である。$x=1$ のとき $g(1) = -1$ である。

(ii) $x < 1$ のとき

$$ \begin{aligned} g(x) &= -(x-1)(x-2) - x \\ &= -x^2 + 3x - 2 - x \\ &= -x^2 + 2x - 2 \\ &= -(x-1)^2 - 1 \end{aligned} $$

この区間において、グラフは上に凸の放物線であり、頂点は $(1, -1)$ である。$x < 1$ の範囲では単調に増加し、$\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$ となる。

これら (i), (ii) の結果から $y=g(x)$ のグラフをかくと、$x < 1$ の範囲では単調増加して点 $(1, -1)$ に近づき、$x \geqq 1$ の範囲では $x=2$ で極小値 $-2$ をとり、その後単調増加する連続な曲線となる。

この曲線 $y=g(x)$ と水平な直線 $y=a$ の共有点の個数をグラフから読み取ると、以下のようになる。

$a < -2$ のとき、$1$ 個
$a = -2$ のとき、$2$ 個
$-2 < a < -1$ のとき、$3$ 個
$a = -1$ のとき、$2$ 個
$a > -1$ のとき、$1$ 個

解法2

方程式 $|x-1|(x-2) = x+a$ の実数解の個数を、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y=x+a$ の共有点の個数として直接調べる。

$f(x)$ の絶対値を外すと以下のようになる。

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 \quad (x \geqq 1) \\ -x^2 + 3x - 2 \quad (x < 1) \end{cases} $$

$y=f(x)$ のグラフは、$x$ 軸上の点 $(1, 0), (2, 0)$ を通り、$1 \leqq x \leqq 2$ の部分が $x$ 軸の下側に折り返されたような形状をしている。このグラフに対して、傾きが $1$ の直線 $y=x+a$ を $y$ 切片 $a$ の値を変えながら上下に動かして共有点の個数を調べる。

直線が曲線に接する場合と、境界となる点を通る場合を考える。

(ア) 直線が $x \geqq 1$ の曲線部分に接するとき $x \geqq 1$ のときの方程式 $x^2 - 3x + 2 = x+a$、すなわち $x^2 - 4x + 2 - a = 0$ が重解をもてばよい。判別式を $D$ とすると、

$$ D/4 = (-2)^2 - (2 - a) = 0 $$

これより $a = -2$ を得る。このときの接点の $x$ 座標は $x = 2$ となり、$x \geqq 1$ の条件を満たす。

(イ) 直線がグラフの折れ曲がる点 $(1, 0)$ を通るとき直線 $y=x+a$ に $x=1, y=0$ を代入して、

$$ 0 = 1 + a $$

これより $a = -1$ を得る。

また、$x < 1$ の部分である $y = -x^2 + 3x - 2$ 上での接線を考えると、$y' = -2x + 3 = 1$ より $x = 1$ となるが、これは区間外（境界点）であるため接点は存在しない。

以上から、直線 $y=x+a$ の位置と共有点の個数の関係は次のようになる。

$a < -2$ のとき：直線は $x < 1$ の曲線部分と $1$ 点のみで交わる。
$a = -2$ のとき：直線は $x \geqq 1$ の曲線部分に接し、$x < 1$ の曲線部分と $1$ 点で交わるため、計 $2$ 個。
$-2 < a < -1$ のとき：直線は $x \geqq 1$ の曲線部分と $2$ 点で交わり、$x < 1$ の曲線部分と $1$ 点で交わるため、計 $3$ 個。
$a = -1$ のとき：直線は点 $(1, 0)$ を通り、さらに $x > 2$ の部分で $1$ 点交わるため、計 $2$ 個。
$a > -1$ のとき：直線は $x > 1$ の曲線部分と $1$ 点のみで交わる。