数学1 方程式の解の個数問題 10 解説

方針・初手

(1) は2次方程式の実数解の個数条件であるから、判別式を調べる。 (2), (3) は、複2次式 $x^4+ax^2+b=0$ の実数解の個数を扱う問題である。$x^2=t$ とおき、$t$ についての2次方程式 $t^2+at+b=0$ の実数解の条件に帰着させる。$t$ の符号によって対応する $x$ の実数解の個数が変わることに注意する。具体的には、$t>0$ なら $x$ は2個、$t=0$ なら $x$ は1個、$t<0$ なら $x$ は0個となる。 (4) は (3) で求めた条件を $ab$ 平面上に図示する基本的な領域図示問題である。

解法1

(1) 2次方程式 $x^2+ax+b=0$ が異なる2つの実数解をもつための条件は、その判別式を $D_1$ とすると、$D_1 > 0$ となることである。

$$ D_1 = a^2 - 4b > 0 $$

よって、求める条件は $a^2 - 4b > 0$ である。

(2) $x^4+ax^2+b=0$ について、$x^2=t$ とおくと、次のように表される。

$$ t^2+at+b=0 \quad \cdots (*) $$

与えられた $x$ についての4次方程式が異なる4個の実数解をもつのは、方程式 (*) が異なる2つの正の実数解をもつときである。 $f(t)=t^2+at+b$ とおく。$f(t)=0$ が異なる2つの正の解をもつための条件は、以下の3つが同時に成り立つことである。

(i) $f(t)=0$ の判別式 $D_2 > 0$ (ii) 放物線 $y=f(t)$ の軸の位置が $t>0$ の範囲にある (iii) $f(0) > 0$

(i) より、$D_2 = a^2 - 4b > 0$ である。 (ii) より、軸は $t = -\frac{a}{2}$ であるから、$-\frac{a}{2} > 0$ すなわち $a < 0$ である。 (iii) より、$f(0) = b > 0$ である。

以上より、求める条件は

$$ a < 0 \text{ かつ } 0 < b < \frac{a^2}{4} $$

である。

(3) $x$ についての4次方程式が異なる2個の実数解をもつのは、方程式 (*) が以下のいずれかの場合を満たすときである。

(ア) () が正の実数解と負の実数解を1つずつもつ場合 (イ) () が正の重解をもつ場合

（注意：(*) が $t=0$ を解にもつ場合、もう1つの解が正であれば $x$ は3個、負であれば $x$ は1個、$0$ の重解であれば $x$ は1個となり、いずれも異なる実数解が2個という条件を満たさない。）

(ア)の場合 2次方程式 (*) が正の解と負の解をもつための条件は、$f(0) < 0$ である。

$$ b < 0 $$

(イ)の場合 2次方程式 (*) が正の重解をもつための条件は、$D_2 = 0$ かつ軸が正となることである。

$$ a^2 - 4b = 0 \text{ かつ } -\frac{a}{2} > 0 $$

これを解いて、$b = \frac{a^2}{4}$ かつ $a < 0$ である。

(ア) と (イ) は同時に成り立たない。よって求める条件は、

$$ b < 0 \text{ または } \left( b = \frac{a^2}{4} \text{ かつ } a < 0 \right) $$

である。

(4) (3) で求めた条件を $ab$ 平面上に図示する。横軸に $a$ 軸、縦軸に $b$ 軸をとる。領域は、直線 $b=0$ より下の領域、および放物線 $b = \frac{a^2}{4}$ の $a < 0$ の部分（曲線）を合わせたものである。境界線については、放物線 $b = \frac{a^2}{4}$ 上の $a < 0$ の部分は領域に含まれ、直線 $b=0$ 上の点および原点 $(0,0)$ は領域に含まれない。

解説

複2次式 $x^4+ax^2+b=0$ の実数解の個数問題の定石である、$x^2=t$ とおき、$t$ の2次方程式の解の配置問題に帰着させる手法を確認する問題である。 (3) において、$x$ の実数解が2個になるパターンとして、正の解と負の解をもつ場合 (ア) は思いつきやすいが、正の重解をもつ場合 (イ) は見落としやすいので注意が必要である。また、$t=0$ を解にもつ場合を安易に含めてしまうと、解の個数が3個や1個になってしまうため、丁寧に $t$ の値と $x$ の個数の対応を確認することが重要である。

答え

(1) $$ a^2 - 4b > 0 $$
(2) $$ a < 0 \text{ かつ } 0 < b < \frac{a^2}{4} $$
(3) $$ b < 0 \text{ または } \left( b = \frac{a^2}{4} \text{ かつ } a < 0 \right) $$
(4) $ab$ 平面において、$b<0$ の領域、および放物線 $b=\frac{a^2}{4}$ の $a<0$ の部分。

境界線は、放物線 $b=\frac{a^2}{4}$ の $a<0$ の部分は含み、それ以外の境界線（直線 $b=0$）は含まない。