数学1 方程式の解の個数問題 15 解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数 $C$ は、絶対値の中身の正負によって場合分けをして式を整理する。これがグラフの概形を描くための第一歩となる。直線 $L$ は定点 $(4, 15)$ を通り、傾きが $a$ に応じて変化する直線であることに着目する。(2) は指定された範囲でのみ方程式を解き、解がその範囲に含まれる条件を考える。(3) は (2) の結果を足掛かりにしつつ、定義域全体に広げて方程式の実数解の個数を $a$ の値で分類する。

解法1

(1)

$C$ の方程式について、絶対値の中身は $x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4)$ と因数分解できる。これより、$x \leqq -1,\ 4 \leqq x$ のとき $x^2 - 3x - 4 \geqq 0$ であり、$-1 < x < 4$ のとき $x^2 - 3x - 4 < 0$ となる。それぞれの場合において絶対値を外して整理する。

(i) $x \leqq -1,\ 4 \leqq x$ のとき

$$ \begin{aligned} y &= (x^2 - 3x - 4) + 3x + 3 \\ &= x^2 - 1 \end{aligned} $$

(ii) $-1 < x < 4$ のとき

$$ \begin{aligned} y &= -(x^2 - 3x - 4) + 3x + 3 \\ &= -x^2 + 6x + 7 \\ &= -(x - 3)^2 + 16 \end{aligned} $$

したがって、$C$ の概形は、境界となる点 $(-1, 0)$ と点 $(4, 15)$ を通り、$-1 < x < 4$ の区間では頂点が $(3, 16)$ の上に凸の放物線の一部、$x \leqq -1$ および $4 \leqq x$ の区間では下に凸の放物線の一部を繋ぎ合わせた曲線となる。

(2)

$-1 \leqq x \leqq 4$ において、$C$ の方程式は $y = -x^2 + 6x + 7$ である。直線 $L$ の方程式 $y = a(x - 4) + 15$ と連立して $y$ を消去すると、以下のようになる。

$$ -x^2 + 6x + 7 = a(x - 4) + 15 $$

整理すると、

$$ x^2 + (a - 6)x - 4a + 8 = 0 $$

直線 $L$ は定点 $(4, 15)$ を通り、この点は $-1 \leqq x \leqq 4$ における $C$ 上の点でもあるため、$x = 4$ はこの方程式の解の一つである。因数分解すると、

$$ (x - 4)(x + a - 2) = 0 $$

ゆえに、解は $x = 4,\ 2 - a$ となる。題意は「$-1 \leqq x \leqq 4$ における共有点」であるから、これらの解がこの範囲に存在するかどうかを考える。 $x = 4$ は常に条件を満たす。 $x = 2 - a$ が $-1 \leqq x \leqq 4$ を満たす条件は、

$$ -1 \leqq 2 - a \leqq 4 $$

各辺から $2$ を引いて $-1$ を掛けると、

$$ -2 \leqq a \leqq 3 $$

となる。したがって、求める共有点の $x$ 座標は、$a$ の値によって以下のように表される。・$-2 \leqq a \leqq 3$ のとき、$x = 4,\ 2 - a$ ・$a < -2,\ 3 < a$ のとき、$x = 4$

(3)

(2) と同様に、$x < -1$ および $x > 4$ の範囲における $C$ と $L$ の共有点を調べる。この範囲での $C$ の方程式は $y = x^2 - 1$ である。$L$ の方程式と連立すると、

$$ x^2 - 1 = a(x - 4) + 15 $$

整理して因数分解すると、

$$ x^2 - ax + 4a - 16 = 0 $$

$$ (x - 4)(x - a + 4) = 0 $$

これより、解は $x = 4,\ a - 4$ である。各範囲に解が存在する条件を調べる。

(iii) $x < -1$ の範囲について

$x = a - 4$ が $x < -1$ を満たす条件は、$a - 4 < -1$ より $a < 3$ である。 $x = 4$ はこの範囲に含まれない。よって、$a < 3$ のとき、この範囲に共有点の $x$ 座標 $x = a - 4$ を $1$ つ持つ。

(iv) $x > 4$ の範囲について

$x = a - 4$ が $x > 4$ を満たす条件は、$a - 4 > 4$ より $a > 8$ である。 $x = 4$ はこの範囲に含まれない（等号を含まないため）。よって、$a > 8$ のとき、この範囲に共有点の $x$ 座標 $x = a - 4$ を $1$ つ持つ。

以上と (2) の結果を踏まえ、$a$ の値で場合分けして定義域全体での共有点の個数を数える。

・$a < -2$ のとき $x < -1$ に $1$ 個（$x = a - 4$）、$-1 \leqq x \leqq 4$ に $1$ 個（$x = 4$）、$x > 4$ に $0$ 個。合計 $2$ 個。

・$a = -2$ のとき $x < -1$ に $1$ 個（$x = -6$）、$-1 \leqq x \leqq 4$ に $1$ 個（$x = 4$ は重解）。合計 $2$ 個。

・$-2 < a < 3$ のとき $x < -1$ に $1$ 個（$x = a - 4$）、$-1 \leqq x \leqq 4$ に $2$ 個（$x = 4,\ 2 - a$）。これらはすべて異なる。合計 $3$ 個。

・$a = 3$ のとき $x < -1$ には存在しない。$-1 \leqq x \leqq 4$ に $2$ 個（$x = 4,\ -1$）。合計 $2$ 個。

・$3 < a < 8$ のとき $x < -1$ には存在しない。$-1 \leqq x \leqq 4$ に $1$ 個（$x = 4$）。$x > 4$ には存在しない。合計 $1$ 個。

・$a = 8$ のとき $x < -1$ には存在しない。$-1 \leqq x \leqq 4$ に $1$ 個（$x = 4$）。$x > 4$ には存在しない（$x=a-4=4$ となり範囲外）。合計 $1$ 個。

・$a > 8$ のとき $x < -1$ には存在しない。$-1 \leqq x \leqq 4$ に $1$ 個（$x = 4$）。$x > 4$ に $1$ 個（$x = a - 4$）。合計 $2$ 個。

解説

絶対値を含む関数のグラフと、定点を通る直線の交点の個数を問う標準的な問題である。(2) が (3) を解くための誘導になっている。定点 $(4, 15)$ を中心に直線 $L$ を回転させるイメージを持つと、どのタイミングで共有点の個数が変化するかが視覚的に把握しやすい。共有点の個数が変化する境界は、直線が曲線に接する瞬間（$a = -2,\ 8$）や、グラフの折れ目である境界点を通る瞬間（$a = 3$）である。計算だけでなく、このように図形的な意味を意識することで、条件漏れや数え間違いを防ぐことができる。

答え

(1) 概形は、点 $(-1, 0)$ および点 $(4, 15)$ を通り、$-1 < x < 4$ の範囲では頂点が $(3, 16)$ の上に凸の放物線の一部、$x \leqq -1$ および $4 \leqq x$ の範囲では下に凸の放物線 $y = x^2 - 1$ の一部を繋ぎ合わせた曲線である。

(2)