トップ› 基礎問題› 数学1› 方程式不等式› 二次方程式の解の存在範囲› 問題 12

数学1 二次方程式の解の存在範囲問題 12 解説

方針・初手

2次関数と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標（すなわち 2次方程式の解）の配置を考える問題である。関数を $f(x) = x^2 - (2a+1)x + 2a^2$ とおき、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と交わる条件や、特定の区間で交わるための境界条件（$y$ 座標の符号）を調べていく。

解法1

関数を $f(x) = x^2 - (2a+1)x + 2a^2$ とおく。

放物線 $C$ と $x$ 軸が2個の共有点をもつための条件は、2次方程式 $f(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ となることである。

$$ D = \{-(2a+1)\}^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2a^2 = 4a^2 + 4a + 1 - 8a^2 = -4a^2 + 4a + 1 $$

したがって、不等式 $-4a^2 + 4a + 1 > 0$ が成り立つ。これを変形して、

$$ 4a^2 - 4a - 1 < 0 $$

これを解くと、$a$ の取り得る値の範囲は、

$$ \frac{1-\sqrt{2}}{2} < a < \frac{1+\sqrt{2}}{2} $$

となる。

次に、$C$ と $x$ 軸の2個の共有点の $x$ 座標 $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ について、$\alpha < 1 < \beta$ となる条件を求める。放物線 $y = f(x)$ は下に凸であるため、1つの交点が $1$ より小さく、もう1つの交点が $1$ より大きくなるための必要十分条件は $f(1) < 0$ である。

$$ f(1) = 1^2 - (2a+1) \cdot 1 + 2a^2 = 2a^2 - 2a = 2a(a-1) $$

よって、$2a(a-1) < 0$ を解いて、

$$ 0 < a < 1 $$

このとき、$0 < a < 1$ は先ほど求めた $\frac{1-\sqrt{2}}{2} < a < \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ に含まれているため、条件を満たす。

最後に、$0 < \alpha < 1$ かつ $\frac{3}{2} < \beta < 2$ となるような $a$ の値の範囲を求める。放物線が下に凸であることから、この条件は以下の4つの不等式が同時に成り立つことと同値である。

(1) $f(0) > 0$ (2) $f(1) < 0$ (3) $f\left(\frac{3}{2}\right) < 0$ (4) $f(2) > 0$

それぞれについて調べる。

(1) $f(0) = 2a^2 > 0$ より、$a \neq 0$ である。

(2) $f(1) < 0$ より、先ほどの計算から $0 < a < 1$ である。

(3) $f\left(\frac{3}{2}\right) < 0$ を計算する。

$$ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - (2a+1) \cdot \frac{3}{2} + 2a^2 = \frac{9}{4} - 3a - \frac{3}{2} + 2a^2 = 2a^2 - 3a + \frac{3}{4} $$

$2a^2 - 3a + \frac{3}{4} < 0$ の両辺を4倍して、

$$ 8a^2 - 12a + 3 < 0 $$

これを解くと、

$$ \frac{3-\sqrt{3}}{4} < a < \frac{3+\sqrt{3}}{4} $$

(4) $f(2) > 0$ を計算する。

$$ f(2) = 2^2 - (2a+1) \cdot 2 + 2a^2 = 4 - 4a - 2 + 2a^2 = 2a^2 - 4a + 2 = 2(a-1)^2 $$

$2(a-1)^2 > 0$ より、$a \neq 1$ である。

以上、(1) 〜 (4) の共通範囲を求める。 $\sqrt{3} \approx 1.732$ であるから、$0 < \frac{3-\sqrt{3}}{4} < 1 < \frac{3+\sqrt{3}}{4}$ となる。したがって、共通範囲は、

$$ \frac{3-\sqrt{3}}{4} < a < 1 $$

となる。

解説

2次方程式の解の配置問題（解の存在範囲）である。解の条件が与えられたとき、それを関数 $y = f(x)$ のグラフの幾何学的な条件に翻訳して考えるのが定石である。本問のように、ある値 $p$ を境にして「解が $p$ より小さい、または大きい」という条件が指定された場合は、端点における関数の値 $f(p)$ の符号に着目する。特に $\alpha < p < \beta$ のような条件は、下に凸の放物線においては $f(p) < 0$ のみで必要十分となり、判別式や軸の位置の条件は不要となる点に注意したい。後半の条件では、各区間に1つずつ解が含まれるように、4つの境界における符号をすべて調べる必要がある。