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数学1 二次方程式の解の存在範囲問題 28 解説

方針・初手

(1)は2次方程式の解の配置問題である。判別式、軸の位置、端点の符号に着目する。 (2)と(3)は方程式の解が虚数になる場合も考慮する必要がある。判別式の符号で場合分けを行い、実数解をもつ場合と虚数解をもつ場合それぞれで条件を立式する。虚数解をもつ場合、2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の解は互いに共役な複素数となり、その実部が $-\frac{a}{2}$ （つまり放物線 $y=x^2+ax+b$ の軸の位置）となることを利用する。

解法1

(1)

2次方程式 $f(x)=0$ すなわち $x^2+ax+b=0$ が異なる2つの正の解をもつ条件は、以下の3つが同時に成り立つことである。

判別式 $D = a^2-4b > 0$
軸の位置 $x = -\frac{a}{2} > 0$
端点における値 $f(0) = b > 0$

軸の条件から $a < 0$ である。これらをまとめると、求める必要十分条件は

$$ a^2-4b > 0 \quad \text{かつ} \quad a < 0 \quad \text{かつ} \quad b > 0 $$

である。

(2)

判別式 $D = a^2-4b$ の符号で場合分けを行う。

(i) $D \ge 0$ すなわち $a^2-4b \ge 0$ のとき 2次方程式は実数解をもつ。題意を満たすには、2つの解が共に負であればよい（重解も2つと数えるため含む）。条件は以下の3つが同時に成り立つことである。

判別式 $D = a^2-4b \ge 0$
軸の位置 $x = -\frac{a}{2} < 0$
端点における値 $f(0) = b > 0$

これより、$a^2-4b \ge 0$ かつ $a > 0$ かつ $b > 0$ となる。

(ii) $D < 0$ すなわち $a^2-4b < 0$ のとき 2次方程式は互いに共役な虚数解 $x = \frac{-a \pm \sqrt{4b-a^2}i}{2}$ をもつ。この解の実部は $-\frac{a}{2}$ である。実部が負となる条件は

$$ -\frac{a}{2} < 0 \iff a > 0 $$

となる。また、$a^2-4b < 0$ より $b > \frac{a^2}{4}$ であり、$a>0$ と合わせると $b>0$ は常に満たされる。したがって、この場合の条件は $a^2-4b < 0$ かつ $a > 0$ である。

(i), (ii) を合わせると、求める領域の条件は

$$ a > 0 \quad \text{かつ} \quad b > 0 $$

となる。これを $ab$ 平面上に図示すればよい（境界線は含まない）。

(3)

(2)と同様に $D = a^2-4b$ の符号で場合分けを行う。

(i) $D \ge 0$ すなわち $a^2-4b \ge 0$ のとき 2次方程式の実数解が共に $-1$ より大きく $0$ より小さい条件は以下の通りである。

判別式 $D = a^2-4b \ge 0$
軸の位置 $-1 < -\frac{a}{2} < 0 \iff 0 < a < 2$
端点における値 $f(-1) = 1-a+b > 0 \iff b > a-1$
端点における値 $f(0) = b > 0$

したがって、条件は $b \le \frac{a^2}{4}$ かつ $0 < a < 2$ かつ $b > a-1$ かつ $b > 0$ である。

(ii) $D < 0$ すなわち $a^2-4b < 0$ のとき虚数解の実部 $-\frac{a}{2}$ が $-1$ より大きく $0$ より小さい条件は

$$ -1 < -\frac{a}{2} < 0 \iff 0 < a < 2 $$

である。判別式の条件は $b > \frac{a^2}{4}$ である。したがって、条件は $b > \frac{a^2}{4}$ かつ $0 < a < 2$ である。

(i), (ii) を合わせる。任意の $a$ について

$$ \frac{a^2}{4} - (a-1) = \frac{a^2-4a+4}{4} = \frac{(a-2)^2}{4} \ge 0 $$

であるため、常に $\frac{a^2}{4} \ge a-1$ が成り立つ（つまり放物線 $b=\frac{a^2}{4}$ は直線 $b=a-1$ と $a=2$ で接し、常に上側にある）。よって、(ii) の領域 $b > \frac{a^2}{4}$ にある点は、自動的に $b > a-1$ かつ $b > 0$ を満たす。ゆえに、(i) と (ii) の領域の和集合をとると、放物線 $b = \frac{a^2}{4}$ の境界を跨いで領域がつながり、求める条件は

$$ 0 < a < 2 \quad \text{かつ} \quad b > 0 \quad \text{かつ} \quad b > a-1 $$

となる。これを $ab$ 平面上に図示すればよい（境界線は含まない）。

解説

解が複素数になる場合の実部に関する条件を問う問題である。実数解をもつ場合（解の配置）と、虚数解をもつ場合とで判別式の符号によって場合分けをするのが定石である。 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が虚数解をもつとき、その解は共役な複素数となり、実部は必ず放物線の軸の位置（$-\frac{b}{2a}$）と一致することを理解しておくと見通しが良くなる。 (3)では場合分けの後に領域の和集合をとる際、放物線と直線の上下関係（$a=2$ で接する関係）に気付くと領域をシンプルにまとめることができる。