数学1 平方根 問題 11 解説

方針・初手

与えられた $x$ の式を $y$ に代入し、根号の中身を平方の形に整理する。$\sqrt{A^2} = |A|$ であることに注意し、絶対値記号の中身の正負によって場合分けを行う。

解法1

$x = a^2 + 9$ を $y$ の式に代入すると、根号の中身はそれぞれ以下のようになる。

$$ \begin{aligned} x - 6a &= (a^2 + 9) - 6a = (a - 3)^2 \\ x + 6a &= (a^2 + 9) + 6a = (a + 3)^2 \end{aligned} $$

したがって、$y$ は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} y &= \sqrt{(a - 3)^2} - \sqrt{(a + 3)^2} \\ &= |a - 3| - |a + 3| \end{aligned} $$

ここで、絶対値記号の中身が $0$ になる $a$ の値は $a = 3, -3$ であるから、以下の3つの区間で場合分けを行う。

(i) $a \leqq -3$ のとき

$a - 3 < 0$ かつ $a + 3 \leqq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} |a - 3| &= -(a - 3) = -a + 3 \\ |a + 3| &= -(a + 3) = -a - 3 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} y &= (-a + 3) - (-a - 3) \\ &= 6 \end{aligned} $$

(ii) $-3 \leqq a \leqq 3$ のとき

$a - 3 \leqq 0$ かつ $a + 3 \geqq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} |a - 3| &= -(a - 3) = -a + 3 \\ |a + 3| &= a + 3 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} y &= (-a + 3) - (a + 3) \\ &= -2a \end{aligned} $$

(iii) $a \geqq 3$ のとき

$a - 3 \geqq 0$ かつ $a + 3 \geqq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} |a - 3| &= a - 3 \\ |a + 3| &= a + 3 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} y &= (a - 3) - (a + 3) \\ &= -6 \end{aligned} $$

以上をまとめると、問題文の条件式と一致する。

解説

$\sqrt{A^2}$ の処理が問われる典型問題である。$\sqrt{A^2} = A$ とそのまま外してしまうミスが非常に多い。正しくは $\sqrt{A^2} = |A|$ であり、その後は絶対値の中身の符号によって適切に場合分けを行う必要がある。

本問では、$x \pm 6a = (a \pm 3)^2$ となるように $x$ の値がうまく設定されており、根号を外すと2つの絶対値の差を計算する問題に帰着する。場合分けの境界は、各絶対値の中身が $0$ となる $a = -3$ と $a = 3$ の2箇所となる。

答え

[ア] $3$

[イ] $6$

[ウ] $3$

[エ] $-2a$

[オ] $-6$