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京都大学 2021年文系第1問解説

方針・初手

問1 は、10進法の小数を2進法に変換する手順と、N進法の小数の積を求める計算力を問う問題です。2進法のまま筆算をするか、一度10進法の分数に変換して計算した後に2進法に戻すのが定石です。また、2進法から4進法への変換は、$4 = 2^2$ である性質を利用し、小数点を基準に2進数の桁を2桁ずつ区切ることで素早く変換できます。

問2 は、ベクトルを用いた平面図形の基本問題です。三角形の垂心に関する位置ベクトルを求めるには、垂心の定義である「頂点から対辺への垂線の交点」を利用し、2つの直交条件（ベクトルの内積が $0$ になること）を立式して係数を決定します。

解法1

問1

10進法の $6.75$ を整数部分と小数部分に分けて考える。

整数部分は $6 = 4 + 2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$ より、2進法で表すと $110_{(2)}$ である。

小数部分は $0.75 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2}$ より、2進法で表すと $0.11_{(2)}$ である。

よって、$6.75$ を2進法で表すと $110.11_{(2)}$ となる。

次に、$110.11_{(2)}$ と $101.0101_{(2)}$ の積を計算する。ここでは10進法の分数に直して計算する。

$$ 110.11_{(2)} = 6.75 = \frac{27}{4} $$

$$ 101.0101_{(2)} = 2^2 + 2^0 + 2^{-2} + 2^{-4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{85}{16} $$

これらの積を計算すると、

$$ \frac{27}{4} \times \frac{85}{16} = \frac{2295}{64} $$

分子の $2295$ を2進法で表す。

$$ 2295 = 2048 + 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 2^{11} + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^0 $$

よって、$2295 = 100011110111_{(2)}$ である。

これを $64 = 2^6$ で割ることは、2進法において小数点を左に6桁移動させることに相当する。

したがって、求める積を2進法で表すと $100011.110111_{(2)}$ である。

さらに、これを4進法で表すには、小数点を基準として2進数の桁を2桁ずつ区切り、それぞれを4進数の1桁に変換する。

整数部分：$10 \mid 00 \mid 11_{(2)} \rightarrow 2 \mid 0 \mid 3_{(4)}$
小数部分：$11 \mid 01 \mid 11_{(2)} \rightarrow 3 \mid 1 \mid 3_{(4)}$

よって、4進法で表すと $203.313_{(4)}$ となる。

問2

$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$、$\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ とおく。条件より $|\vec{a}| = 3$、$|\vec{b}| = 2$ であり、内積は

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60° = 3 \times 2 \times \frac{1}{2} = 3 $$

$H$ は $\triangle OAB$ の垂心であるから、$AH \perp OB$ かつ $BH \perp OA$ である。

$\overrightarrow{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$（$s, t$ は実数）とおく。

$AH \perp OB$ より $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ であるから、

$$ \overrightarrow{AH} = (s-1)\vec{a} + t\vec{b} $$

$$ \{(s-1)\vec{a} + t\vec{b}\} \cdot \vec{b} = 3(s-1) + 4t = 0 $$

$$ 3s + 4t = 3 \quad \cdots ① $$

$BH \perp OA$ より $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ であるから、

$$ \overrightarrow{BH} = s\vec{a} + (t-1)\vec{b} $$

$$ \{s\vec{a} + (t-1)\vec{b}\} \cdot \vec{a} = 9s + 3(t-1) = 0 $$

$$ 3s + t = 1 \quad \cdots ② $$

①、② を解く。① $-$ ② より $3t = 2$、すなわち $t = \dfrac{2}{3}$。

これを②に代入すると $3s = \dfrac{1}{3}$、すなわち $s = \dfrac{1}{9}$。

以上より、

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} $$

解説

問1のN進法の小数の積は、2進法のまま筆算を行うことも十分に可能ですが、計算ミスを防ぐために10進法の分数に直して処理する方法も安全かつ確実です。また、底が $2$ と $2^2 = 4$ という関係にある進法間の変換は、基準となる桁ごとに区切って直接変換できることを知っておくと、無駄な計算を省くことができます。

問2は、ベクトルの平面図形への応用の典型問題です。垂心の位置ベクトルを求める際は、「内積が $0$ になる」という直交条件を素直に式に落とし込むだけで連立方程式が導けます。外心や内心など、他の五心の位置ベクトルの求め方と併せて整理しておきたい標準的な解法です。