数学1 因数分解 問題 3 解説

方針・初手

4つの1次式の積に定数が足された形の因数分解である。そのまま展開すると4次式になり計算が煩雑になるため、共通部分が現れるように工夫して展開する。

各1次式の定数項に注目し、和が等しくなるような2つのペアを見つけるのが定石である。今回は定数項の和が $0+3=3$ と $1+2=3$ で等しくなるため、$x$ と $x+3$、および $x+1$ と $x+2$ をそれぞれ組み合わせて展開する。

解法1

与えられた式を次のように組み合わせを変えて展開する。

$$ \begin{aligned} & x(x+1)(x+2)(x+3)+1 \\ &= \{x(x+3)\}\{(x+1)(x+2)\}+1 \\ &= (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1 \end{aligned} $$

ここで、$x^2+3x = A$ とおくと、次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} A(A+2)+1 &= A^2+2A+1 \\ &= (A+1)^2 \end{aligned} $$

$A$ を $x^2+3x$ に戻す。

$$ (A+1)^2 = (x^2+3x+1)^2 $$

二次式 $x^2+3x+1$ は有理数の範囲でこれ以上因数分解できないため、これが最終的な答えとなる。

解説

「$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+k$」の形の式を因数分解する際の典型問題である。

やみくもに展開するのではなく、$a+b=c+d$（または $a+c=b+d$ など）となる組み合わせを探すことで、$x^2+(a+b)x$ という共通部分を作り出すことができる。共通部分を一つの文字に置き換えることで、見通しよく計算を進めることが可能になる。

答え

$$ (x^2+3x+1)^2 $$