数学1 因数分解 問題 11 解説

方針・初手

複数の文字が含まれる多項式の因数分解では、最も次数の低い文字について整理するのが基本である。本問では $x, y, z$ のどの文字についても2次であるため、どの文字について整理しても解くことができる。ここでは $x$ について降べきの順に整理し、共通因数をくくり出すことを目指す。

解法1

与式を展開し、$x$ について降べきの順に整理する。

$$ \begin{aligned} &x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2) \\ &= x y^2 - x z^2 + y z^2 - y x^2 + z x^2 - z y^2 \\ &= (-y + z)x^2 + (y^2 - z^2)x + y z^2 - z y^2 \end{aligned} $$

各項を因数分解し、共通因数 $(y - z)$ を作る。

$$ = -(y - z)x^2 + (y + z)(y - z)x - yz(y - z) $$

共通因数 $-(y - z)$ で全体をくくる。

$$ = -(y - z) \{ x^2 - (y + z)x + yz \} $$

中括弧の中の2次式を因数分解する。

$$ = -(y - z)(x - y)(x - z) $$

各因数の符号を調整し、輪環の順に整理する。

$$ = (x - y)(y - z)(z - x) $$

解説

複数の文字が含まれる式の因数分解における定石である「1つの文字に注目して整理する」手順を確認する代表的な問題である。文字の次数がすべて同じ場合は、どれか1つの文字（通常はアルファベット順で最初の文字）について降べきの順に整理すると、全体をくくれる共通因数が現れることが多い。

最後に符号を調整して $(x - y)(y - z)(z - x)$ のように輪環の順（$x \to y \to z \to x$ の順）に並べ替えることで、式の対称性が明確になり、解答として美しい形となる。

答え

$(x - y)(y - z)(z - x)$