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数学1 因数分解問題 13 解説

方針・初手

複数の文字（$x$ と $y$）を含む多項式の因数分解である。このような場合の基本方針は、「最も次数の低い文字について整理する」ことである。

本問では、$x$ についても $y$ についても2次式であるため、どちらかの文字について降べきの順に整理する。ここでは、$x^2$ の係数が正で扱いやすい $x$ について整理する方針をとる。その後、定数項にあたる $y$ の2次式を因数分解し、全体でたすき掛けを行う。

解法1

与えられた式を $x$ について降べきの順に整理する。

$$ \begin{aligned} & 2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6 \\ &= 2x^2 + (1 - 5y)x - (3y^2 - 11y + 6) \end{aligned} $$

次に、定数項にあたる $y$ の2次式 $3y^2 - 11y + 6$ をたすき掛けにより因数分解する。

$$ 3y^2 - 11y + 6 = (y - 3)(3y - 2) $$

これを元の式に代入する。

$$ 2x^2 + (1 - 5y)x - (y - 3)(3y - 2) $$

この式を $x$ の2次式とみて、再びたすき掛けを行う。掛けて $2$ となるのは $1$ と $2$、掛けて $-(y - 3)(3y - 2)$ となる組み合わせのうち、たすき掛けをして和が $1 - 5y$ となるものを探す。

$$ \begin{aligned} 1 \longrightarrow y - 3 &\implies y - 3 \\ 2 \longrightarrow -(3y - 2) &\implies -6y + 4 \end{aligned} $$

これらの和は $(y - 3) + (-6y + 4) = -5y + 1 = 1 - 5y$ となり、1次の項の係数と一致する。

これにより、次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} & \{x - (3y - 2)\}\{2x + (y - 3)\} \\ &= (x - 3y + 2)(2x + y - 3) \end{aligned} $$

解法2

$y$ について降べきの順に整理して解くこともできる。

与えられた式を $y$ について整理する。

$$ \begin{aligned} & 2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6 \\ &= -3y^2 + (11 - 5x)y + (2x^2 + x - 6) \\ &= - \{ 3y^2 + (5x - 11)y - (2x^2 + x - 6) \} \end{aligned} $$

定数項にあたる $x$ の2次式 $2x^2 + x - 6$ を因数分解する。

$$ 2x^2 + x - 6 = (x + 2)(2x - 3) $$

これを元の式に代入する。

$$ - \{ 3y^2 + (5x - 11)y - (x + 2)(2x - 3) \} $$

波括弧の中について、$y$ の2次式とみてたすき掛けを行う。掛けて $3$ となるのは $1$ と $3$、掛けて $-(x + 2)(2x - 3)$ となる組み合わせのうち、たすき掛けをして和が $5x - 11$ となるものを探す。

$$ \begin{aligned} 1 \longrightarrow -(x + 2) &\implies -x - 2 \\ 3 \longrightarrow 2x - 3 &\implies 6x - 9 \end{aligned} $$

これらの和は $(-x - 2) + (6x - 9) = 5x - 11$ となり、1次の項の係数と一致する。

これにより、次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} & - \{ y + (2x - 3) \}\{ 3y - (x + 2) \} \\ &= - (2x + y - 3)(-x + 3y - 2) \\ &= (2x + y - 3)(x - 3y + 2) \end{aligned} $$

解説

複数の文字を含む多項式の因数分解における定石である「特定の文字について整理する」手順の確認問題である。

本問ではどちらの文字に着目しても最高次数は2であるが、最高次の項の係数に着目すると、$x^2$ の係数は $2$、$y^2$ の係数は $-3$ である。解法2のように負の係数を持つ文字で整理すると、くくり出しによる符号の扱いが煩雑になりミスを誘発しやすい。したがって、解法1のように係数が正である $x$ について整理する方が計算を進めやすく、実戦的である。

定数項の因数分解と全体の因数分解で、計2回のたすき掛けを要求される典型的な形式となっている。