数学1 因数分解 問題 17 解説

方針・初手

複数の文字が含まれる多項式の因数分解における基本原則は、「次数の最も低い文字について整理する」ことです。

与えられた式 $a^3 + a^2 - 2a - a^2 b - ab + 2b$ は、$a$ については3次式ですが、$b$ については1次式です。したがって、まずは $b$ を含む項と含まない項に分けて整理するのが確実なアプローチです。

解法1

与えられた式を、次数の低い文字である $b$ について整理する。

$$ a^3 + a^2 - 2a - a^2 b - ab + 2b $$

$b$ を含む項をまとめると、

$$ = -(a^2 + a - 2)b + a^3 + a^2 - 2a $$

後半の $b$ を含まない部分を $a$ でくくる。

$$ = -(a^2 + a - 2)b + a(a^2 + a - 2) $$

共通因数 $a^2 + a - 2$ が現れるので、これでくくる。

$$ = (a^2 + a - 2)(-b + a) $$

さらに $a^2 + a - 2$ を因数分解し、後ろの括弧内を $a-b$ に順序を整える。

$$ = (a - 1)(a + 2)(a - b) $$

解法2

項が6つあることに着目し、2つずつペアを作って共通因数を見つける。

$$ a^3 + a^2 - 2a - a^2 b - ab + 2b $$

$$ = (a^3 - a^2 b) + (a^2 - ab) - (2a - 2b) $$

それぞれの括弧の中で共通因数をくくり出す。

$$ = a^2(a - b) + a(a - b) - 2(a - b) $$

全体に共通因数 $a - b$ が現れるので、これでくくる。

$$ = (a - b)(a^2 + a - 2) $$

残った2次式 $a^2 + a - 2$ を因数分解する。

$$ = (a - b)(a - 1)(a + 2) $$

解説

複数の文字を含む因数分解の最も基本的な解法パターンの1つです。解法1のように「最低次の文字で整理する」のがいかなる問題でも通用する王道の手法です。

一方で、本問のように係数の並びに規則性が見えやすい場合は、解法2のように項を適切なグループに分けることで、素早く共通因数を見つけ出すことも可能です。どちらの方法でも正しく処理できれば問題ありません。最後に残った2次式の因数分解を見落とさないように注意しましょう。

答え

$$ (a - b)(a - 1)(a + 2) $$