数学1 因数分解 問題 20 解説

方針・初手

複数の文字（この場合は $x$ と $y$）が含まれる多項式の因数分解では、最も次数の低い文字について整理するのが基本である。本問では $x$ についても $y$ についても2次式であるため、最高次の係数が $1$ であり計算しやすくなる $x$ について降べきの順に整理する。その後、定数項にあたる $y$ の式を因数分解し、全体でたすき掛けを行う。

解法1

与式を $x$ について降べきの順に整理する。

$$ x^2 - (2y + 5)x - (3y^2 + y - 4) $$

次に、定数項にあたる $y$ の2次式 $3y^2 + y - 4$ をたすき掛けにより因数分解する。

$$ 3y^2 + y - 4 = (3y + 4)(y - 1) $$

これを元の式に代入すると、以下のようになる。

$$ x^2 - (2y + 5)x - (3y + 4)(y - 1) $$

全体を $x$ の2次式とみて、再度たすき掛けを行う。掛けて $-(3y + 4)(y - 1)$、足して $-(2y + 5)$ となる2つの式を見つければよい。

$$ \begin{aligned} 1 &\quad -(3y + 4) \rightarrow -3y - 4 \\ 1 &\quad y - 1 \rightarrow y - 1 \end{aligned} $$

これらの和は以下のようになり、 $x$ の係数と一致する。

$$ (-3y - 4) + (y - 1) = -2y - 5 = -(2y + 5) $$

したがって、与式は次のように因数分解できる。

$$ \{x - (3y + 4)\}\{x + (y - 1)\} = (x - 3y - 4)(x + y - 1) $$

解法2

与式を $y$ について降べきの順に整理することもできる。最高次の係数が負にならないように全体をマイナスでくくってから計算を進める。

$$ - \{ 3y^2 + (2x + 1)y - (x^2 - 5x + 4) \} $$

波括弧内の定数項にあたる $x$ の2次式を因数分解する。

$$ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) $$

これを代入する。

$$ - \{ 3y^2 + (2x + 1)y - (x - 1)(x - 4) \} $$

波括弧内の $y$ の2次式についてたすき掛けを行う。掛けて $-3(x - 1)(x - 4)$、足して $2x + 1$ になる組み合わせを考える。

$$ \begin{aligned} 3 &\quad -(x - 4) \rightarrow -x + 4 \\ 1 &\quad x - 1 \rightarrow 3x - 3 \end{aligned} $$

これらの和は以下のようになり、$y$ の係数と一致する。

$$ (-x + 4) + (3x - 3) = 2x + 1 $$

したがって、因数分解は次のように進む。

$$ \begin{aligned} - \{ 3y - (x - 4) \}\{ y + (x - 1) \} &= - ( -x + 3y + 4 )( x + y - 1 ) \\ &= ( x - 3y - 4 )( x + y - 1 ) \end{aligned} $$

解説

2変数の2次式の因数分解における典型問題である。このような問題では、定数項部分の因数分解と、式全体での因数分解という「2回のたすき掛け」を行うのが定石である。

式を整理する際、どの文字に着目するかによって計算量が変化する。解法1のように最高次の係数が $1$ になる文字（本問では $x$）で整理すると、2回目のたすき掛けでの係数調整が容易になり、計算ミスを防ぎやすくなる。解法2のように $y$ について整理した場合、最高次の係数が $-3$ となるため、たすき掛けの組み合わせを考える際の負担がやや増える。

答え

$$ (x - 3y - 4)(x + y - 1) $$