数学1 因数分解 問題 23 解説

方針・初手

複数の文字が含まれる多項式の因数分解では、最も次数の低い文字について降べきの順に整理するのが基本である。本問では $x$ についても $y$ についても2次式であるため、どちらの文字について整理してもよい。最高次の係数が正の整数である $x$ について整理した方が、符号のミスが起こりにくい。

解法1

与えられた式を $x$ について降べきの順に整理する。

$$ 2x^2 + 3xy - 2y^2 + 5y - 2 = 2x^2 + 3yx - (2y^2 - 5y + 2) $$

定数項にあたる $y$ の2次式 $2y^2 - 5y + 2$ をたすき掛けにより因数分解する。

$$ 2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2) $$

これを元の式に代入する。

$$ 2x^2 + 3yx - (2y - 1)(y - 2) $$

全体を $x$ の2次式とみて、再びたすき掛けを行う。掛けて $2$、掛けて $-(2y - 1)(y - 2)$ となり、たすき掛けして加えた結果が $x$ の係数 $3y$ となる組み合わせを考える。

$$ \begin{aligned} 1 \times (2y - 1) &= 2y - 1 \\ 2 \times \{-(y - 2)\} &= -2y + 4 \end{aligned} $$

この組み合わせでは和が $3$ となり $3y$ にならないため不適である。正しくは以下の組み合わせとなる。

$$ \begin{aligned} 1 \times 2(2y - 1) &= 4y - 2 \\ 2 \times \{-(y - 2)\} &= -y + 2 \end{aligned} $$

これらの和は $(4y - 2) + (-y + 2) = 3y$ となり、$x$ の係数と一致する。

したがって、次のように因数分解できる。

$$ \{x + (2y - 1)\}\{2x - (y - 2)\} = (x + 2y - 1)(2x - y + 2) $$

解法2

与えられた式を $y$ について降べきの順に整理して因数分解することもできる。先頭の係数を正にするために全体を負の符号でくくる。

$$ \begin{aligned} 2x^2 + 3xy - 2y^2 + 5y - 2 &= -2y^2 + (3x + 5)y + 2x^2 - 2 \\ &= - \{ 2y^2 - (3x + 5)y - 2(x^2 - 1) \} \\ &= - \{ 2y^2 - (3x + 5)y - 2(x + 1)(x - 1) \} \end{aligned} $$

中括弧の中の式を $y$ の2次式とみてたすき掛けを行う。掛けて $2$、掛けて $-2(x + 1)(x - 1)$ となり、たすき掛けして加えた結果が $y$ の係数 $-(3x + 5)$ となる組み合わせを考える。

$$ \begin{aligned} 1 \times \{-2(x + 1)\} &= -4x - 4 \\ 2 \times (x - 1) &= x - 1 \end{aligned} $$

これらの和は $(-4x - 4) + (x - 1) = -3x - 5 = -(3x + 5)$ となり、$y$ の係数と一致する。

したがって、次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} - \{ y - 2(x + 1) \}\{ 2y + (x - 1) \} &= - (y - 2x - 2)(2y + x - 1) \\ &= (2x - y + 2)(x + 2y - 1) \end{aligned} $$

解説

複数の文字が含まれる式の因数分解における定石問題である。定数項を因数分解した後に全体で再びたすき掛けを行う「2段階のたすき掛け」が必要となる。本問のようにどの文字の次数も同じである場合は、最高次の係数が正である文字（本問では $x$）について整理することで、符号の処理が簡明になり計算ミスを防ぎやすくなる。

答え

$$ (x + 2y - 1)(2x - y + 2) $$