数学1 式の展開 問題 4 解説

方針・初手

与えられた4つの因数を、展開しやすくなるように2つずつ組み合わせて計算する。

前半の $(x-3y)(x+3y)$ は和と差の積の公式を用いて展開する。後半の $(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)$ については、$x^2+y^2$ をひとまとめとして捉えることで、同様に和と差の積の公式を利用して展開する。最後に、それら2つの結果を掛け合わせる。

解法1

与えられた式を $P$ とおく。

$$ P = (x-3y)(x+3y)(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2) $$

前半の2つの因数の積は、展開公式により次のようになる。

$$ (x-3y)(x+3y) = x^2 - 9y^2 $$

後半の2つの因数の積は、$x^2+y^2$ をひとまとめと見なすことで次のように展開できる。

$$ \begin{aligned} (x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2) &= \{ (x^2+y^2) + 3xy \} \{ (x^2+y^2) - 3xy \} \\ &= (x^2+y^2)^2 - (3xy)^2 \\ &= (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - 9x^2y^2 \\ &= x^4 - 7x^2y^2 + y^4 \end{aligned} $$

したがって、与式 $P$ はこれら2つの結果の積として計算できる。

$$ \begin{aligned} P &= (x^2 - 9y^2)(x^4 - 7x^2y^2 + y^4) \\ &= x^2(x^4 - 7x^2y^2 + y^4) - 9y^2(x^4 - 7x^2y^2 + y^4) \\ &= x^6 - 7x^4y^2 + x^2y^4 - 9x^4y^2 + 63x^2y^4 - 9y^6 \\ &= x^6 - 16x^4y^2 + 64x^2y^4 - 9y^6 \end{aligned} $$

解説

複数の多項式の積を展開する計算問題である。$(A+B)(A-B) = A^2-B^2$ の形を見つけて部分的に展開し、計算量を減らしつつ見通しを良くするのが定石の処理である。

なお、もし後半の2つの因数が $(x^2+3xy+9y^2)(x^2-3xy+9y^2)$ であれば、前半と組み合わせて $(x-3y)(x^2+3xy+9y^2) = x^3-27y^3$ のように立方差・立方和の公式が使える綺麗な形となる。しかし、本問では $y^2$ の係数が $1$ で与えられているため、その公式は使えない。問題文の数式を正確に読み取り、共通部分をくくり出すなどの基本的な工夫を用いて地道に展開していく力が問われている。

答え

$$ x^6 - 16x^4y^2 + 64x^2y^4 - 9y^6 $$