数学1 式の展開 問題 6 解説

方針・初手

そのまま前から順番に展開すると計算量が膨大になるため、展開公式 $(A-B)(A^2+AB+B^2) = A^3-B^3$ や $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$ が使えるように、因数の組み合わせを工夫する。$(x-y)^2$ を $(x-y)(x-y)$ に分解し、それぞれを他の因数と適切にペアにすることがポイントである。

解法1

与えられた式を、展開公式が利用しやすい順序に並べ替える。

$$ \begin{aligned} & (x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y) \\ &= \left\{ (x-y)(x^2+xy+y^2) \right\} \cdot \left\{ (x-y)(x+y) \right\} \cdot (x^2+y^2) \end{aligned} $$

それぞれの波括弧の部分について展開公式を適用する。

$$ \begin{aligned} (x-y)(x^2+xy+y^2) &= x^3-y^3 \\ (x-y)(x+y) &= x^2-y^2 \end{aligned} $$

これらを代入すると、式は次のように簡略化される。

$$ (x^3-y^3)(x^2-y^2)(x^2+y^2) $$

ここで、後ろの2つの因数に再び展開公式 $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$ を適用する。

$$ \begin{aligned} (x^2-y^2)(x^2+y^2) &= (x^2)^2 - (y^2)^2 \\ &= x^4-y^4 \end{aligned} $$

よって、与式はさらに次のように変形できる。

$$ (x^3-y^3)(x^4-y^4) $$

最後に、これを展開して整理する。

$$ \begin{aligned} (x^3-y^3)(x^4-y^4) &= x^3 \cdot x^4 - x^3 \cdot y^4 - y^3 \cdot x^4 + y^3 \cdot y^4 \\ &= x^7 - x^4 y^3 - x^3 y^4 + y^7 \end{aligned} $$

解説

式を闇雲に展開するのではなく、よく知られた展開公式の形を探すことが要求される問題である。 本問では、以下の2つの公式が活躍する。

• $(A-B)(A^2+AB+B^2) = A^3-B^3$
• $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$

特に、$(x-y)^2$ を $(x-y) \times (x-y)$ と分解して、一方を $x^2+xy+y^2$ と、もう一方を $x+y$ と組み合わせるという視点を持てるかどうかが計算量に直結する。このように因数のペアを作り直す操作は、複雑な式の展開において非常に有効な定石である。

答え

$$ x^7 - x^4y^3 - x^3y^4 + y^7 $$