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数学1 数1最大最小問題 6 解説

方針・初手

2次関数の置き換えを利用した最大・最小問題である。まず、$A$ の式を $x$ について平方完成し、$A$ の最小値および $A$ のとりうる値の範囲を求める。次に、$y$ を $A$ の式で表し、先ほど求めた $A$ の範囲における $y$ の最小値を求める。文字を置き換えた際は、その新しい文字の変域に注意して議論を進めることが重要である。

解法1

$x$ は実数である。$A = x^2 - 2x$ を平方完成すると、

$$ A = (x - 1)^2 - 1 $$

となる。$x$ はすべての実数値をとるので、$(x-1)^2 \ge 0$ である。したがって、$x = 1$ のとき、$A$ は最小値 $-1$ をとる。

ゆえに、[ア] に入る値は $-1$ である。

また、このとき $A$ のとりうる値の範囲は、

$$ A \ge -1 $$

となる。

次に、$y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x)$ を $A$ を用いて表すと、

$$ y = A^2 + 4A $$

となる。これを $A$ について平方完成すると、

$$ y = (A + 2)^2 - 4 $$

となる。これは $A$ の2次関数であり、グラフは頂点が $(-2, -4)$ で下に凸な放物線となる。ここで、$A$ のとりうる値の範囲は $A \ge -1$ である。放物線の軸の方程式は $A = -2$ であり、これは定義域 $A \ge -1$ の範囲外（左側）にある。したがって、$A \ge -1$ の範囲において、関数 $y$ は $A$ の値が大きくなるにつれて単調に増加する。よって、$y$ は $A = -1$ のとき最小となる。

$A = -1$ のとき、$y$ の値は、

$$ y = (-1 + 2)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 $$

となる。ゆえに、[イ] に入る値は $-3$ である。

解説

式の一部を別の文字に置き換えて関数の最大値や最小値を求める典型問題である。この種の問題における最大のポイントは、「置き換えた文字のとりうる値の範囲を必ず確認する」ことである。本問において、$A$ の範囲を考慮せずに $y = (A + 2)^2 - 4$ の頂点の $y$ 座標から最小値を $-4$ （このとき $A = -2$）としてしまうのは、受験生が陥りやすい典型的な誤りである。実際には $x^2 - 2x = -2$ を満たす実数 $x$ は存在しないため、$y$ が $-4$ になることはない。常に変域を意識してグラフのどの部分を考えているのかを把握することが求められる。