京都大学 2019年 文系 第2問 解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数であるため、まずは $x \geqq 0$ と $x < 0$ で場合分けを行い、それぞれの範囲における $f(x)$ の式を平方完成します。

パラメータ $a,\ b$ を含む2つの放物線の軸の位置が、それぞれの場合分けの条件（$x \geqq 0$ または $x < 0$）を満たすかどうかで、さらに場合分けを行います。各区間での最小値を調べ、それらを比較して関数全体の最小値 $m$ を決定します。

解法1

関数 $f(x)$ は絶対値を含むため、$x$ の符号によって場合分けをする。

(i) $x \geqq 0$ のとき

$$ f(x) = x^2 + 2(ax + bx) = x^2 + 2(a+b)x $$

これを平方完成すると、

$$ f(x) = \{x + (a+b)\}^2 - (a+b)^2 $$

このグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x = -(a+b)$ である。

(ii) $x < 0$ のとき

$$ f(x) = x^2 + 2(ax - bx) = x^2 + 2(a-b)x $$

これを平方完成すると、

$$ f(x) = \{x + (a-b)\}^2 - (a-b)^2 $$

このグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x = -(a-b)$ である。

ここで、$b$ は正の定数であるから、$2b > 0$ より $-(a+b) < -(a-b)$ が成り立つ。

これら2つの軸の位置が、それぞれの定義域（$x \geqq 0$ および $x < 0$）に含まれるかどうかで場合分けを行う。

(1) $-(a+b) \geqq 0$ のとき（すなわち $a \leqq -b$ のとき）

$x \geqq 0$ の範囲において、軸 $x = -(a+b)$ は区間内に存在する。

このとき、$-(a-b) > 0$ であるから、$x < 0$ の範囲において軸 $x = -(a-b)$ は区間外（右側）にある。

したがって、$f(x)$ は

• $x < 0$ の範囲では単調減少
• $x \geqq 0$ の範囲では $x = -(a+b)$ で最小値 $-(a+b)^2$ をとる

$x=0$ において $f(0)=0$ で連続しているため、関数全体での最小値は $x = -(a+b)$ のとき $m = -(a+b)^2$ である。

(2) $-(a+b) < 0$ かつ $-(a-b) \geqq 0$ のとき（すなわち $-b < a \leqq b$ のとき）

$x \geqq 0$ の範囲において、軸 $x = -(a+b)$ は区間外（左側）にある。

$x < 0$ の範囲において、軸 $x = -(a-b)$ は区間外（右側）にある。

したがって、$f(x)$ は

• $x < 0$ の範囲では単調減少
• $x \geqq 0$ の範囲では単調増加

となる。

ゆえに、$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。このとき $f(0) = 0$ であるから、関数全体での最小値は $m = 0$ である。

(3) $-(a-b) < 0$ のとき（すなわち $a > b$ のとき）

$x < 0$ の範囲において、軸 $x = -(a-b)$ は区間内に存在する。

このとき、$-(a+b) < 0$ であるから、$x \geqq 0$ の範囲において軸 $x = -(a+b)$ は区間外（左側）にある。

したがって、$f(x)$ は

• $x < 0$ の範囲では $x = -(a-b)$ で最小値 $-(a-b)^2$ をとる
• $x \geqq 0$ の範囲では単調増加

関数全体での最小値は $x = -(a-b)$ のとき $m = -(a-b)^2$ である。

以上より、最小値 $m$ は $a$ の値によって次のように表される。

$$ m = \begin{cases} -(a+b)^2 & (a \leqq -b) \\ 0 & (-b < a \leqq b) \\ -(a-b)^2 & (a > b) \end{cases} $$

$m$ のグラフについて

横軸を $a$、縦軸を $m$ としてグラフを描く。

グラフは以下の3つの部分をつなぎ合わせた形状になる。

• $a \leqq -b$ の区間：頂点が $(-b,\ 0)$ で上に凸の放物線 $m = -(a+b)^2$ の左半分
• $-b < a \leqq b$ の区間：$a$ 軸上の一部となる線分 $m = 0$
• $a > b$ の区間：頂点が $(b,\ 0)$ で上に凸の放物線 $m = -(a-b)^2$ の右半分

これらのグラフは点 $(-b,\ 0)$ および点 $(b,\ 0)$ において滑らかに接続される。

解説

絶対値を含む2次関数の最小値を、さらに文字定数で場合分けして求める問題です。

定義域を分割して複数の2次関数を繋ぎ合わせた関数について、パラメータの変動によって軸がどのように移動し、最小値をとる箇所がどう変化するかを正確に追う必要があります。

$b>0$ という条件から $-(a+b) < -(a-b)$ がつねに成り立つことが大きなポイントで、これにより「2つの軸がどちらも自身の定義域内に入る」という複雑なケースが起こり得ないことが分かり、場合分けがスッキリと3パターンに収まります。

グラフを描く際は、各区間での式を明示し、境界点での連続性や頂点の位置を正確に捉えることが求められます。

答え

$$ m = \begin{cases} -(a+b)^2 & (a \leqq -b) \\ 0 & (-b < a \leqq b) \\ -(a-b)^2 & (a > b) \end{cases} $$

グラフは、横軸を $a$、縦軸を $m$ とした平面上に、点 $(-b,\ 0)$ を頂点とする上に凸の放物線（$a \leqq -b$）、$m=0$ の線分（$-b < a \leqq b$）、点 $(b,\ 0)$ を頂点とする上に凸の放物線（$a > b$）をつなげた曲線となる。