数学1 数1最大最小 問題 10 解説

方針・初手

与えられた2次関数を平方完成し、放物線の軸の位置と定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ の位置関係によって場合分けを行う。各場合における最小値 $m$ を $a$ の式で表し、それが $0$ となるような $a$ を求めたうえで、場合分けの条件に適するかどうかを確認する。

解法1

関数 $f(x)$ を平方完成すると、以下のようになる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= 2x^2 - 4ax + a + a^2 \\ &= 2(x^2 - 2ax) + a + a^2 \\ &= 2(x - a)^2 - 2a^2 + a + a^2 \\ &= 2(x - a)^2 - a^2 + a \end{aligned} $$

したがって、放物線 $y = f(x)$ は下に凸であり、軸は直線 $x = a$、頂点の座標は $(a, -a^2 + a)$ である。 $x$ の変域が $0 \leqq x \leqq 3$ であるから、軸 $x = a$ の位置によって以下のように3つの場合に分けて最小値 $m$ を考える。

(i) $a < 0$ のとき

軸は区間 $0 \leqq x \leqq 3$ の左側にある。 関数 $f(x)$ は $0 \leqq x \leqq 3$ において単調に増加するため、$x = 0$ で最小となる。 したがって、最小値 $m$ は

$$ m = f(0) = a^2 + a $$

$m = 0$ となるのは、$a^2 + a = 0$ のときである。 これを解くと、

$$ a(a + 1) = 0 $$

$$ a = 0, -1 $$

$a < 0$ の条件を満たすものは、$a = -1$ である。

(ii) $0 \leqq a \leqq 3$ のとき

軸は区間 $0 \leqq x \leqq 3$ の内部（端点を含む）にある。 したがって、関数 $f(x)$ は頂点である $x = a$ で最小となる。 このとき、最小値 $m$ は

$$ m = f(a) = -a^2 + a $$

$m = 0$ となるのは、$-a^2 + a = 0$ のときである。 これを解くと、

$$ -a(a - 1) = 0 $$

$$ a = 0, 1 $$

これらはともに $0 \leqq a \leqq 3$ の条件を満たす。

(iii) $3 < a$ のとき

軸は区間 $0 \leqq x \leqq 3$ の右側にある。 関数 $f(x)$ は $0 \leqq x \leqq 3$ において単調に減少するため、$x = 3$ で最小となる。 したがって、最小値 $m$ は

$$ m = f(3) = 2 \cdot 3^2 - 4a \cdot 3 + a^2 + a = a^2 - 11a + 18 $$

$m = 0$ となるのは、$a^2 - 11a + 18 = 0$ のときである。 これを因数分解して解くと、

$$ (a - 2)(a - 9) = 0 $$

$$ a = 2, 9 $$

$3 < a$ の条件を満たすものは、$a = 9$ である。

以上 (i)、(ii)、(iii) の結果より、求める $a$ の値はこれらをすべて合わせたものになる。

解説

係数に文字を含んだ2次関数の最小値を求める典型問題である。軸が動くため、定義域との位置関係（区間の左側、区間内、区間の右側）に着目して適切に場合分けを行う必要がある。得られた方程式の解が、前提とした場合分けの条件を満たすかどうかの確認を忘れないようにしたい。

答え

$a = -1, 0, 1, 9$