数学1 数1最大最小 問題 14 解説

方針・初手

式の中に共通するまとまり $x^2 + 2x$ があるため、これを1つの文字 $t$ で置き換えて変数を減らす。このとき、置き換えた文字 $t$ のとり得る値の範囲（定義域）を必ず確認してから、$y$ の最小値を調べる。

解法1

$t = x^2 + 2x$ とおく。右辺を平方完成すると、

$$ t = (x+1)^2 - 1 $$

$x$ は実数全体を動くので、$t$ のとり得る値の範囲は、

$$ t \geqq -1 $$

である。 次に、与えられた関数 $y$ を $t$ を用いて表すと、

$$ y = t^2 + 4t - 5 $$

となる。右辺を平方完成すると、

$$ y = (t+2)^2 - 9 $$

この関数は $t$ についての2次関数であり、グラフは $t = -2$ を軸とする下に凸の放物線である。 ここで、$t$ の変域は $t \geqq -1$ である。 軸 $t = -2$ は変域 $t \geqq -1$ に含まれず、変域の左側にあるため、$t \geqq -1$ の範囲において $y$ は単調に増加する。

したがって、$y$ は $t = -1$ のとき最小となる。 そのときの最小値は、

$$ y = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = -8 $$

このとき、$x$ の値は、

$$ x^2 + 2x = -1 $$

$$ (x+1)^2 = 0 $$

より、$x = -1$ である。

解説

共通部分を置き換えて次数を下げ、計算を容易にする典型問題である。文字を置き換えた際に、新しい文字の変域を求めることが最も重要なステップである。 本問では、$t = x^2 + 2x$ の最小値が $-1$ であるため、$y$ を $t$ で表した2次関数の頂点の $t$ 座標である $-2$ が定義域に含まれない。変域の確認を怠ると、頂点の $y$ 座標である $-9$ を最小値としてしまうため、注意が必要である。

答え

$x = -1$ のとき、最小値 $-8$