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数学1 数1最大最小問題 18 解説

方針・初手

与えられた条件式 $x+y=1$ を用いて1文字を消去し、1変数の2次関数の最大・最小問題に帰着させる。

消去する文字は $x, y$ のどちらでもよいが、すでに $x$ の変域 $0 \leqq x \leqq 2$ が与えられているため、$y$ を消去して $x$ のみの式にする方が変域を求め直す手間が省けて簡潔である。

解法1

与えられた等式 $x+y=1$ より、

$$ y = 1-x $$

である。これを求める式に代入して $y$ を消去すると、

$$ x - 2y^2 = x - 2(1-x)^2 $$

$$ x - 2(1 - 2x + x^2) = -2x^2 + 5x - 2 $$

となる。これを $f(x)$ とおき、平方完成を行うと、

$$ \begin{aligned} f(x) &= -2\left( x^2 - \frac{5}{2}x \right) - 2 \\ &= -2\left( x - \frac{5}{4} \right)^2 + 2 \cdot \frac{25}{16} - 2 \\ &= -2\left( x - \frac{5}{4} \right)^2 + \frac{9}{8} \end{aligned} $$

となる。ここで、$x$ の変域は問題文の条件より $0 \leqq x \leqq 2$ である。

関数 $y = f(x)$ のグラフは上に凸の放物線であり、その軸は直線 $x = \frac{5}{4}$ である。この軸は定義域 $0 \leqq x \leqq 2$ の内部にあるため、$f(x)$ は頂点で最大値をとる。

最大値は $x = \frac{5}{4}$ のとき、$\frac{9}{8}$ である。このとき、$y = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$ である。

一方、最小値は、放物線の軸から遠い方の端点でとる。軸 $x = \frac{5}{4}$ と各端点との距離を比較すると、

$$ \left| 0 - \frac{5}{4} \right| = \frac{5}{4} $$

$$ \left| 2 - \frac{5}{4} \right| = \frac{3}{4} $$

となり、$x = 0$ の方が軸から遠い。したがって、$x = 0$ のときに最小値をとる。

最小値は $f(0) = -2$ である。このとき、$y = 1 - 0 = 1$ である。

解法2

与えられた等式 $x+y=1$ より、

$$ x = 1-y $$

である。また、$0 \leqq x \leqq 2$ であるから、これを代入して $y$ の変域を求める。

$$ 0 \leqq 1-y \leqq 2 $$

各辺から $1$ を引いて、

$$ -1 \leqq -y \leqq 1 $$

各辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを反転させると、

$$ -1 \leqq y \leqq 1 $$

となる。

次に、求める式に $x = 1-y$ を代入して $x$ を消去すると、

$$ x - 2y^2 = (1-y) - 2y^2 = -2y^2 - y + 1 $$

となる。これを $g(y)$ とおき、平方完成を行うと、

$$ \begin{aligned} g(y) &= -2\left( y^2 + \frac{1}{2}y \right) + 1 \\ &= -2\left( y + \frac{1}{4} \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{16} + 1 \\ &= -2\left( y + \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{9}{8} \end{aligned} $$

となる。$y$ の変域は $-1 \leqq y \leqq 1$ である。

関数 $x = g(y)$ のグラフは上に凸の放物線であり、軸は直線 $y = -\frac{1}{4}$ である。この軸は定義域 $-1 \leqq y \leqq 1$ の内部にあるため、$g(y)$ は頂点で最大値をとる。

最大値は $y = -\frac{1}{4}$ のとき、$\frac{9}{8}$ である。このとき、$x = 1 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{5}{4}$ である。

最小値は、軸 $y = -\frac{1}{4}$ から遠い方の端点でとる。端点 $y = -1$ と $y = 1$ の軸からの距離を比較すると、$y = 1$ の方が軸から遠いため、$y = 1$ のときに最小値をとる。

最小値は $g(1) = -2(1)^2 - 1 + 1 = -2$ である。このとき、$x = 1 - 1 = 0$ である。

解説

2変数の最大・最小問題における最も基本的な手法である「等式条件を用いた文字消去」を問う標準的な問題である。

消去する文字はどちらでもよいが、文字を消去した際は**「消去した文字の条件を残す文字の変域に反映させる」**ことが極めて重要である。解法2のように $x$ を消去して $y$ の関数として扱う場合、$0 \leqq x \leqq 2$ という隠れた条件から $y$ の変域を正しく導出できなければ誤答となる。

本問は最初から $x$ の変域が明示されているため、解法1のように $y$ を消去する方が、変域を計算する手間が省け、ミスを減らすことができる。