数学1 数1最大最小 問題 35 解説

方針・初手

2変数 $x, y$ の対称式に関する標準的な問題である。基本対称式である和 $x+y=t$ と積 $xy$ を用いて与えられた条件や式を表現する。また、$x, y$ が実数として存在するための条件から $t$ のとり得る値の範囲を求めることが重要である。

解法1

(1) 与えられた条件式 $x^2 - xy + y^2 = 1$ を、基本対称式 $x+y$ と $xy$ を用いて変形する。

$$ (x+y)^2 - 3xy = 1 $$

$x+y = t$ を代入すると、

$$ t^2 - 3xy = 1 $$

これを $xy$ について解くと、

$$ xy = \frac{t^2 - 1}{3} $$

(2) $x, y$ は和が $t$、積が $\frac{t^2 - 1}{3}$ であるから、$x, y$ は $X$ についての2次方程式

$$ X^2 - tX + \frac{t^2 - 1}{3} = 0 $$

の2つの解である。

$x, y$ は実数であるから、この2次方程式は実数解をもたなければならない。 判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ となる。

$$ D = (-t)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{t^2 - 1}{3} \geqq 0 $$

両辺に $3$ を掛けて整理すると、

$$ 3t^2 - 4(t^2 - 1) \geqq 0 $$

$$ -t^2 + 4 \geqq 0 $$

$$ t^2 - 4 \leqq 0 $$

$$ (t+2)(t-2) \leqq 0 $$

これを解いて、

$$ -2 \leqq t \leqq 2 $$

(3) 求める式を $P$ とおき、$t$ の式で表す。

$$ P = 2x + 3xy + 2y $$

$$ = 2(x+y) + 3xy $$

$$ = 2t + 3 \cdot \frac{t^2 - 1}{3} $$

$$ = t^2 + 2t - 1 $$

$P$ を平方完成すると、

$$ P = (t+1)^2 - 2 $$

(2) より $-2 \leqq t \leqq 2$ であるから、この範囲で $P$ の最大値と最小値を調べる。 放物線 $P = (t+1)^2 - 2$ は下に凸で、頂点は $(-1, -2)$、軸は $t = -1$ である。

したがって、$t = 2$ のとき最大値 $2^2 + 2 \cdot 2 - 1 = 7$ をとる。 また、$t = -1$ のとき最小値 $-2$ をとる。

それぞれのときの $x, y$ の値を求める。

$t = 2$ のとき、$xy = \frac{2^2 - 1}{3} = 1$ である。 $x, y$ は $X^2 - 2X + 1 = 0$ の解であるから、

$$ (X-1)^2 = 0 $$

より、$X = 1$ （重解）となる。 ゆえに、$(x, y) = (1, 1)$。

$t = -1$ のとき、$xy = \frac{(-1)^2 - 1}{3} = 0$ である。 $x, y$ は $X^2 - (-1)X + 0 = 0$ の解であるから、

$$ X^2 + X = 0 $$

$$ X(X+1) = 0 $$

より、$X = 0, -1$ となる。 ゆえに、$(x, y) = (0, -1), (-1, 0)$。

解説

対称式の定石である「和と積を用いた変形」と「実数存在条件」を問う問題である。(2)で求めた $t$ の範囲を(3)で利用するという誘導が丁寧になされている。実数解をもつ条件として判別式 $D \geqq 0$ を用いることは、対称式を扱う際によく現れるので確実に身につけておきたい。

答え

(1)

$xy = \frac{t^2 - 1}{3}$

(2)

$-2 \leqq t \leqq 2$

(3)

最大値 $7$ （$x=1, y=1$ のとき）

最小値 $-2$ （$(x, y) = (0, -1), (-1, 0)$ のとき）