数学1 三角比 問題 8 解説

注意 問題文には「円に接している」と表記されているが、これを四角形が円に外接していると解釈すると、与えられた辺の長さと面積の条件が矛盾し、図形が構成できない。そのため、本解説では大学入試における本来の出題意図に合わせ、「四角形ABCDが円に内接している」ものとして解釈した解答を示す。

方針・初手

四角形が円に内接する条件（向かい合う角の和が $180^\circ$ であること）と、円の半径が与えられていることから、正弦定理および余弦定理を利用して方程式を立てる。辺 $BC$ と $CD$ の長さが等しいことを活かし、対角線 $BD$ に着目して三角形の辺と角の関係式を導くのがよい。

解法1

$AB = x, DA = y$ とおく。

四角形の周の長さが $44$ であるから、以下の関係が成り立つ。

$$ x + y + 13 + 13 = 44 $$

整理すると、以下の式を得る。

$$ x + y = 18 $$

四角形ABCDは半径 $R = \frac{65}{8}$ の円に内接するため、$\triangle BCD$ もこの円に内接する。$\triangle BCD$ において正弦定理を適用すると、以下のようになる。

$$ \frac{BD}{\sin C} = 2R = 2 \times \frac{65}{8} = \frac{65}{4} $$

これより、$BD = \frac{65}{4} \sin C$ である。

また、$\triangle BCD$ において余弦定理を適用すると、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} BD^2 &= 13^2 + 13^2 - 2 \cdot 13 \cdot 13 \cos C \\ &= 338(1 - \cos C) \end{aligned} $$

先の $BD$ の式を代入して $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$ を用いると、以下の方程式が得られる。

$$ \left( \frac{65}{4} \right)^2 (1 - \cos^2 C) = 338(1 - \cos C) $$

$$ \frac{4225}{16} (1 - \cos C)(1 + \cos C) = 338(1 - \cos C) $$

$\cos C = 1$ とすると $\angle C = 0^\circ$ となり図形をなさないため、$1 - \cos C \neq 0$ である。両辺を $1 - \cos C$ で割ると、以下のようになる。

$$ \frac{4225}{16} (1 + \cos C) = 338 $$

$$ 1 + \cos C = 338 \times \frac{16}{4225} = \frac{169 \times 2 \times 16}{169 \times 25} = \frac{32}{25} $$

$$ \cos C = \frac{7}{25} $$

このとき、$BD^2$ の値は以下のように定まる。

$$ BD^2 = 338 \left( 1 - \frac{7}{25} \right) = 338 \times \frac{18}{25} = \frac{6084}{25} $$

次に、四角形ABCDは円に内接するため、向かい合う角の和について $\angle A + \angle C = 180^\circ$ が成り立つ。よって、$\cos A = -\cos C = -\frac{7}{25}$ である。

$\triangle ABD$ において余弦定理を適用すると、以下の式が得られる。

$$ \begin{aligned} BD^2 &= AB^2 + DA^2 - 2 \cdot AB \cdot DA \cos A \\ &= x^2 + y^2 - 2xy \left( -\frac{7}{25} \right) \\ &= (x + y)^2 - 2xy + \frac{14}{25}xy \\ &= (x + y)^2 - \frac{36}{25}xy \end{aligned} $$

ここに $x + y = 18$ と求めた $BD^2$ の値を代入する。

$$ \frac{6084}{25} = 18^2 - \frac{36}{25}xy $$

$$ \frac{6084}{25} = 324 - \frac{36}{25}xy $$

$$ \frac{36}{25}xy = 324 - \frac{6084}{25} = \frac{8100 - 6084}{25} = \frac{2016}{25} $$

$$ 36xy = 2016 $$

$$ xy = 56 $$

$x + y = 18$ および $xy = 56$ が成り立つため、解と係数の関係より、$x, y$ は以下の $t$ の2次方程式の2解である。

$$ t^2 - 18t + 56 = 0 $$

これを解くと以下のようになる。

$$ (t - 4)(t - 14) = 0 $$

$$ t = 4, 14 $$

したがって、残りの2辺の長さは $4$ と $14$ である。

解説

円に内接する四角形における「対角線の長さを2通りで表す」という典型的な処理が要求される問題である。正弦定理を用いて対角線の長さを外接円の半径と角で表し、さらに余弦定理と組み合わせることで角の余弦（$\cos C$）を決定できる。最後に解と係数の関係を用いて2辺の長さを求める流れは頻出パターンであるため、確実に押さえておきたい。

答え

$4, 14$